25.Провести полное исследование функции и построить её график

Исследуем функцию $y = \frac{6x^2 - x^4}{9}$. 1. **Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. 2. **Четность/нечетность:** Функция четная, так как $y(-x) = \frac{6(-x)^2 - (-x)^4}{9} = \frac{6x^2 - x^4}{9} = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями:** - С осью $Oy$: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$. - С осью $Ox$: $\frac{6x^2 - x^4}{9} = 0 \implies x^2(6 - x^2) = 0$. Корни: $x=0, x=\sqrt{6}, x=-\sqrt{6}$. Точки $(0; 0), (\sqrt{6}; 0), (-\sqrt{6}; 0)$. 4. **Производная и монотонность:** $y' = \frac{1}{9}(12x - 4x^3) = \frac{4x}{9}(3 - x^2)$. Критические точки: $y'=0 \implies x=0, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$. - $(-\infty; -\sqrt{3})$: $y' > 0$ (возрастает) - $(-\sqrt{3}; 0)$: $y' < 0$ (убывает) - $(0; \sqrt{3})$: $y' > 0$ (возрастает) - $(\sqrt{3}; +\infty)$: $y' < 0$ (убывает) Экстремумы: $x=-\sqrt{3} \implies y=1$ (max), $x=0 \implies y=0$ (min), $x=\sqrt{3} \implies y=1$ (max). 5. **Вторая производная и выпуклость:** $y'' = \frac{1}{9}(12 - 12x^2) = \frac{4}{3}(1 - x^2)$. $y''=0 \implies x=1, x=-1$. - Точки перегиба: $(\pm 1; 5/9)$. :::div .chart-container @chart-1:::