Билет №4. 1.Ромб. Свойства ромба. Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

### 1. Ромб **Определение:** Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. **Свойства:** 1. Противоположные углы равны. 2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам. 3. Диагонали взаимно перпендикулярны (докажем это). 4. Диагонали являются биссектрисами углов ромба. **Доказательство:** Пусть $ABCD$ — ромб. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$. Треугольник $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$ имеют общую сторону $AO$, $AB = AD$ (по определению ромба), $BO = OD$. Следовательно, треугольники равны по трем сторонам (III признак). Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle AOB = \angle AOD$. Так как угол $\angle BOD$ развернутый ($180^\circ$), то $\angle AOB = \angle AOD = 90^\circ$. Значит, $AC \perp BD$. ### 2. Подобные треугольники **Определение:** Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. **Признаки подобия:** 1. **По двум углам:** Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. 2. **По двум сторонам и углу между ними:** Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны. 3. **По трем сторонам:** Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого. ### 3. Задача на ромб Пусть $\angle DAB = 2\alpha$, тогда $\angle ADC = 180^\circ - 2\alpha$. Диагональ $BD$ делит углы пополам, значит $\angle ADB = \angle ABD = 90^\circ - \alpha$. Биссектриса $AM$ делит угол $A$ пополам, $\angle BAM = \alpha$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$: в нем $\angle BAK = \alpha$, $\angle ABK = 90^\circ - \alpha$. Тогда $\angle AKB = 180^\circ - (\alpha + 90^\circ - \alpha) = 90^\circ$. В треугольнике $\triangle AMC$ внешний угол $\angle AMC = 120^\circ$. Поскольку $\angle AMC = \angle MAC + \angle MCA = \alpha + \angle BCA$. В ромбе $\angle BCA = \angle DAC = \alpha$ (накрест лежащие). Значит, $2\alpha = 120^\circ$, откуда $\alpha = 60^\circ$. Угол $\angle AKB = 90^\circ$ (этот угол образован пересечением диагонали и биссектрисы угла в ромбе с данными параметрами, хотя задача может интерпретироваться иначе, при $\alpha=60^\circ$ точка K лежит на пересечении, и искомый угол $90^\circ$). **Ответ:** $90^\circ$. ### 4. Задача на окружность Хорда $AB$ равна радиусу $R$ окружности. Значит, треугольник $\triangle OAB$ (где $O$ — центр окружности) — равносторонний ($OA=OB=AB=R$). Угол $\angle AOB = 60^\circ$. Касательные $AC$ и $BC$ перпендикулярны радиусам $OA$ и $OB$ в точках касания: $\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$. В четырехугольнике $OACB$ сумма углов $360^\circ$. Угол $\angle ACB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. **Ответ:** $120^\circ$.