9. Найдите значение выражения (9 + 4 * sqrt(5)) / (2 - sqrt(5))^(1/3) + sqrt(5).

Для решения выражения $\frac{\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}} + \sqrt{5}$ выполним следующие шаги: 1. Объединим выражение под одним кубическим корнем: $\sqrt[3]{\frac{9+4\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}} + \sqrt{5}$ 2. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби под корнем, умножив числитель и знаменатель на $(2+\sqrt{5})$: $\frac{9+4\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = \frac{(9+4\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{18 + 9\sqrt{5} + 8\sqrt{5} + 4 \cdot 5}{4 - 5} = \frac{18 + 17\sqrt{5} + 20}{-1} = \frac{38 + 17\sqrt{5}}{-1} = -38 - 17\sqrt{5}$ 3. Это выражение под корнем не дает простого результата, попробуем другой подход. Рассмотрим $2-\sqrt{5}$ как куб числа: $(a+b\sqrt{5})^3 = a^3 + 3a^2b\sqrt{5} + 3ab^2(5) + b^3(5\sqrt{5}) = (a^3+15ab^2) + (3a^2b+5b^3)\sqrt{5}$ Для числителя $9+4\sqrt{5}$: $9 = a^3+15ab^2$, $4 = 3a^2b+5b^3$ Пусть $b = 1/2$, тогда $3a^2/2 + 5/8 = 4$, что сложно. Попробуем заметить, что $(2-\sqrt{5}) = -(\sqrt{5}-2)$. Заметим, что $(1+\sqrt{5})^3 = 1 + 3\sqrt{5} + 3(5) + 5\sqrt{5} = 16 + 8\sqrt{5} = 8(2+\sqrt{5})$. Вернемся к $\frac{9+4\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$. Умножим на $(2+\sqrt{5})^2 / (2+\sqrt{5})^2 = (4+4\sqrt{5}+5) = 9+4\sqrt{5}$. Тогда $\frac{9+4\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = \frac{(9+4\sqrt{5})^2}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})^2} = \frac{(9+4\sqrt{5})^2}{(-1)(9+4\sqrt{5})} = -(9+4\sqrt{5})$. Таким образом, выражение принимает вид: $\sqrt[3]{-(9+4\sqrt{5})} + \sqrt{5} = -\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}} + \sqrt{5}$. Проверим возведение $(1+\sqrt{5})^3 = 1+3\sqrt{5}+15+5\sqrt{5} = 16+8\sqrt{5} = 8(2+\sqrt{5})$. Не подходит. Попробуем $(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^3 = \frac{1+3\sqrt{5}+15+5\sqrt{5}}{8} = \frac{16+8\sqrt{5}}{8} = 2+\sqrt{5}$. Тогда $\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = \sqrt[3]{-1 \cdot (\sqrt{5}-2)}$. Также $(1+\sqrt{5})^3 / 8 = 2+\sqrt{5}$. На самом деле: $\frac{9+4\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = -(9+4\sqrt{5}) = -(\sqrt{5}+2)^2$. Выражение равно $-\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}} + \sqrt{5}$. Возможно, в задаче опечатка, и там должно быть $(1+\sqrt{5})^3$. Однако, если решать буквально, значение равно $-\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}} + \sqrt{5}$.