Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Пусть $S$ — все расстояние между А и В, а $v_1$ — скорость первого автомобиля (км/ч). Тогда время первого автомобиля равно $t_1 = \frac{S}{v_1}$. Второй автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, затратив время $t_{2.1} = \frac{S/2}{78} = \frac{S}{156}$. Вторую половину пути он проехал со скоростью $(v_1 + 7)$ км/ч, затратив время $t_{2.2} = \frac{S/2}{v_1 + 7} = \frac{S}{2(v_1 + 7)}$. Так как автомобили прибыли одновременно, общее время движения равно: $t_1 = t_{2.1} + t_{2.2}$. \frac{S}{v_1} = \frac{S}{156} + \frac{S}{2(v_1 + 7)} Сократим на $S$ (так как $S \neq 0$): \frac{1}{v_1} = \frac{1}{156} + \frac{1}{2(v_1 + 7)} Приведем к общему знаменателю: \frac{1}{v_1} = \frac{2(v_1 + 7) + 156}{156 \cdot 2(v_1 + 7)} \frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 14 + 156}{312(v_1 + 7)} \frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 170}{312v_1 + 2184} \text{Перемножим крест-накрест:} 312v_1 + 2184 = v_1(2v_1 + 170) 312v_1 + 2184 = 2v_1^2 + 170v_1 2v_1^2 - 142v_1 - 2184 = 0 \text{Разделим на 2:} v_1^2 - 71v_1 - 1092 = 0 \text{Решим через дискриминант:} D = (-71)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1092) = 5041 + 4368 = 9409 = 97^2 v_{1} = \frac{71 \pm 97}{2} v_1 = \frac{71 + 97}{2} = \frac{168}{2} = 84 (Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи). **Ответ: 84 км/ч.**