Дан угол RST. Его стороны касаются окружности с центром в точке O в точках R и T. Найдите величину угла ROT, если угол RST равен 90.

Привет! Давай разберем задачи из этого сборника ОГЭ по геометрии. ### Задачи «№16 из ОГЭ. Касательные» **Задача 1:** Дан угол $RST$. Его стороны касаются окружности с центром в точке $O$ в точках $R$ и $T$. Найдите величину угла $ROT$, если угол $RST$ равен $90^\circ$. *Решение:* Четырехугольник $ORST$ имеет углы $OR S = 90^\circ$ и $OT S = 90^\circ$ (радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной). Сумма углов четырехугольника $360^\circ$. Угол $ROT = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. **Ответ: 90** **Задача 2:** Стороны угла $BCD$ касаются окружности в точках $B$ и $D$. Известно, что угол $BCD$ равен $60^\circ$. Найдите величину угла $BDC$. *Решение:* Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, значит $BC = CD$. Треугольник $BCD$ — равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, следовательно, он равносторонний. Углы при основании равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. **Ответ: 60** ### Задачи «№16 из ОГЭ. Угол между касательной и хордой» **Задача 1:** Прямая $LA$ касается окружности в точке $L$. Точка $O$ — центр данной окружности. $ML$ — хорда. Известно, что угол $MLA$ равен $57^\circ$. Найдите величину угла $MOL$. *Решение:* Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой, то есть дуга $ML = 2 \cdot 57^\circ = 114^\circ$. Центральный угол $MOL$ равен дуге $ML = 114^\circ$. **Ответ: 114** **Задача 2:** $PK$ — хорда окружности, $KN$ — прямая, касающаяся данной окружности в точке $K$. Известно, что $PK$ и $KN$ образуют острый угол. Найдите величину угла $PKN$, если меньшая дуга $PK$ равна $154^\circ$. *Решение:* Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой: $154^\circ / 2 = 77^\circ$. **Ответ: 77** ### Задачи «№16 из ОГЭ. Секущие и касательные» **Задача:** Из точки $E$ к окружности проведена касательная $ED$, а также секущая, пересекающая окружность в точках $F$ и $C$. Известно, что $ED = 3, EC = 27$. Найдите длину отрезка $EF$. *Решение:* По свойству касательной и секущей: $ED^2 = EF \cdot EC$. $3^2 = EF \cdot 27$ $9 = EF \cdot 27$ $EF = 9 / 27 = 1/3 \approx 0,33$. **Ответ: 1/3** ### Задачи «№16 из ОГЭ. Свойство хорд» **Задача:** Хорды $AB$ и $MN$ пересекаются в точке $K$. Известны следующие отрезки: $AK = 4, KB = 32, NK = 8$. Найдите длину отрезка $MK$. *Решение:* По свойству пересекающихся хорд: $AK \cdot KB = MK \cdot NK$. $4 \cdot 32 = MK \cdot 8$ $128 = MK \cdot 8$ $MK = 128 / 8 = 16$. **Ответ: 16** ### Задание №18 из ОГЭ (нижнее) **Задача 1:** Величина центрального угла $ROK = 90^\circ$. Найдите длину большей дуги $RK$, если длина меньшей дуги $RK$ равна 60. *Решение:* Полная окружность $360^\circ$. Меньшая дуга $90^\circ$ соответствует длине 60. Тогда $360^\circ / 90^\circ = 4$ — окружность в 4 раза больше меньшей дуги. Длина всей окружности: $60 \cdot 4 = 240$. Большая дуга: $240 - 60 = 180$. **Ответ: 180** **Задача 2:** Найдите площадь закрашенного сектора, если известно, что площадь круга равна 96. *Решение:* По клеткам видно, что сектор составляет $1/4$ часть круга (угол $90^\circ$). Площадь сектора: $96 / 4 = 24$. **Ответ: 24**