Решите неравенство: \frac{x^4-81}{log_3(2x+22)-log_{\sqrt{3}}(x+7)} \geq 0.

Для решения неравенства $\frac{x^4 - 81}{\log_3(2x + 22) - \log_{\sqrt{3}}(x + 7)} \geq 0$, выполним следующие шаги: 1. **Определим область допустимых значений (ОДЗ):** - Аргументы логарифмов должны быть положительными: $2x + 22 > 0 \Rightarrow 2x > -22 \Rightarrow x > -11$ $x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7$ - Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_3(2x + 22) - \log_{\sqrt{3}}(x + 7) \neq 0$ $\log_3(2x + 22) \neq \log_{3^{1/2}}(x + 7)$ $\log_3(2x + 22) \neq 2\log_3(x + 7)$ $\log_3(2x + 22) \neq \log_3((x + 7)^2)$ $2x + 22 \neq x^2 + 14x + 49$ $x^2 + 12x + 27 \neq 0$ $(x + 9)(x + 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq -9, x \neq -3$. С учетом $x > -7$, получаем ОДЗ: $x \in (-7; -3) \cup (-3; +\infty)$. 2. **Преобразуем неравенство:** - Числитель: $x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$. - Знаменатель: $\log_3(2x + 22) - \log_{\sqrt{3}}(x + 7) = \log_3(2x + 22) - \log_3((x + 7)^2) = \log_3\left(\frac{2x+22}{x^2+14x+49}\right)$. Неравенство принимает вид: $\frac{(x-3)(x+3)(x^2+9)}{\log_3\left(\frac{2x+22}{x^2+14x+49}\right)} \geq 0$. 3. **Метод интервалов:** - Нули числителя: $x = 3, x = -3$. - Знаменатель обращается в ноль, когда аргумент логарифма равен 1: $\frac{2x+22}{x^2+14x+49} = 1 \Rightarrow 2x + 22 = x^2 + 14x + 49 \Rightarrow x^2 + 12x + 27 = 0 \Rightarrow x = -9$ (вне ОДЗ) или $x = -3$. - Знак знаменателя совпадает со знаком выражения $(\frac{2x+22}{x^2+14x+49} - 1) = \frac{-(x+3)(x+9)}{(x+7)^2}$. - Итоговое выражение по знаку совпадает с: $\frac{(x-3)(x+3)}{\frac{-(x+3)(x+9)}{(x+7)^2}} = \frac{(x-3)(x+3)(x+7)^2}{-(x+3)(x+9)} = -\frac{(x-3)(x+7)^2}{x+9}$. - С учетом ОДЗ $x > -7$ и $x \neq -3$, ищем интервалы, где $- \frac{x-3}{x+9} \geq 0$, что равносильно $\frac{x-3}{x+9} \leq 0$. - Решением является $x \in (-9; 3]$. - Пересекая с ОДЗ $(-7; -3) \cup (-3; +\infty)$, получаем: **Ответ:** $x \in (-7; -3) \cup (-3; 3]$.