Задание №4: 2 * 3^(2x+1) - 7 * 6^x + 2 * 4^x / 3 * 9^x - 3^x * 2^(x+1) <= 1.

Для решения данного неравенства выполним преобразования выражения. Заметим, что: $3^{2x+1} = 3 \cdot (3^x)^2$ $6^x = 3^x \cdot 2^x$ $4^x = (2^x)^2$ $9^x = (3^x)^2$ $3^x \cdot 2^{x+1} = 2 \cdot 3^x \cdot 2^x$ Перепишем неравенство: $\frac{2 \cdot 3 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x \cdot 2^x + 2 \cdot (2^x)^2}{3 \cdot (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x} \le 1$ $\frac{6 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x \cdot 2^x + 2 \cdot (2^x)^2}{3 \cdot (3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x} \le 1$ Разделим почленно числитель и знаменатель на $2^{2x} = (2^x)^2$, введя замену $t = \frac{3^x}{2^x} = (1.5)^x$, где $t > 0$: $\frac{6t^2 - 7t + 2}{3t^2 - 2t} \le 1$ Перенесем 1 в левую часть: $\frac{6t^2 - 7t + 2 - (3t^2 - 2t)}{3t^2 - 2t} \le 0$ $\frac{3t^2 - 5t + 2}{t(3t - 2)} \le 0$ Разложим числитель на множители. Корни квадратного уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$: $D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1$ $t_1 = \frac{5+1}{6} = 1$, $t_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{2}{3}$ Получаем: $\frac{3(t - 1)(t - 2/3)}{3t(t - 2/3)} \le 0$ Сократим на $(t - 2/3)$, учитывая $t \neq 2/3$: $\frac{t - 1}{t} \le 0, t \neq \frac{2}{3}$ Решаем методом интервалов для $t$: $t \in (0, 2/3) \cup (2/3, 1]$ Вернемся к замене $t = 1.5^x$: 1) $0 < 1.5^x < 2/3$ — решений нет (так как $1.5^x > 0$ всегда, но $1.5^x < 2/3$ возможно). $1.5^x < \frac{2}{3} \implies x < \log_{1.5} \left(\frac{2}{3}\right) = \log_{1.5} ((1.5)^{-1}) = -1$ 2) $2/3 < 1.5^x \le 1$ $1.5^x > 2/3 \implies x > -1$ $1.5^x \le 1 \implies x \le 0$ Объединяя интервалы с учетом условия $t \neq 2/3$ ($x \neq -1$): $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0]$ **Ответ:** $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0]$