Из деревни в сторону железнодорожной станции одновременно отправились пешеход и велосипедист. Когда велосипедист доехал до станции, он повернул обратно и прибыл в деревню ровно в тот момент, когда пешеход дошёл до станции. Найдите расстояние от деревни до железнодорожной станции, если на обратном пути велосипедист встретил пешехода, которому оставалось дойти до станции 6 км. Запишите решение и ответ.

Пусть $S$ — расстояние от деревни до станции, $v_1$ — скорость пешехода, $v_2$ — скорость велосипедиста. Время, за которое пешеход доходит до станции, равно $t_1 = \frac{S}{v_1}$. Велосипедист за это же время успел доехать до станции и вернуться обратно. Значит, он проехал расстояние $2S$. Его время в пути: $t_2 = \frac{2S}{v_2}$. Так как они стартовали и финишировали одновременно, $t_1 = t_2$, то есть $\frac{S}{v_1} = \frac{2S}{v_2}$. Отсюда $v_2 = 2v_1$. Встреча произошла, когда пешеход прошел некоторое расстояние $S_1$, а велосипедист проехал $S + (S - 6) = 2S - 6$ (так как он был в 6 км от станции на обратном пути). Время до встречи у них одинаковое: $t_{встр} = \frac{S_1}{v_1} = \frac{2S - 6}{v_2}$ Подставим $v_2 = 2v_1$: $\frac{S_1}{v_1} = \frac{2S - 6}{2v_1} \Rightarrow S_1 = \frac{2S - 6}{2} = S - 3$. Пешеход до места встречи прошел $S_1 = S - 3$ км. В это время велосипедист проехал $2S - 6$ км. Так как велосипедист едет в 2 раза быстрее, он проезжает в 2 раза большее расстояние за то же время. Значит: $2S - 6 = 2 \cdot (S - 3)$ $2S - 6 = 2S - 6$ Это уравнение верно для любого $S$, но мы знаем, что пешеход прошел до станции $S$ км за то же время, что и велосипедист проехал $2S$. В момент встречи пешеход был в точке $S_1 = S - 3$. Велосипедист проехал расстояние $2S - 6$. Он был в 6 км от станции, значит, проехал $S + (S - 6) = 2S - 6$. Отношение скоростей $\frac{v_2}{v_1} = \frac{2S}{S} = 2$. За время до встречи пешеход прошел $S-3$ км, а велосипедист $S + (S - 6) = 2S-6$ км. Так как скорости относятся как 2:1, то расстояния относятся так же: $\frac{2S - 6}{S - 3} = 2$ $2S - 6 = 2S - 6$ Условие «оставалось дойти 6 км» означает, что пешеход прошел $S - 6$ км к моменту встречи. Тогда велосипедист проехал $S + 6$ км. Отношение расстояний равно отношению скоростей (2): $\frac{S + 6}{S - 6} = 2$ $S + 6 = 2(S - 6)$ $S + 6 = 2S - 12$ $S = 18$. Ответ: 18 км.