Подобные треугольники (определение и лемма) Доказать, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Это большой объем материала. Для подготовки к экзамену рекомендую проработать каждый билет по учебнику геометрии. Вот краткие тезисы по темам: ### Билет 11 1. **Подобные треугольники:** Треугольники подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$, так как $P_1/P_2 = (a_1+b_1+c_1)/(a_2+b_2+c_2) = (k a_2 + k b_2 + k c_2)/(a_2+b_2+c_2) = k$. 2. **Сумма углов треугольника:** $180^\circ$. ### Билет 12 1. **Первый признак:** Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. 2. **Окружности:** Описанная — проходит через все вершины треугольника; вписанная — касается всех сторон. ### Билет 13 1. **Хорды/Касательные:** Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением $AE \cdot EB = CE \cdot ED$. Касательная $AC^2 = AB \cdot AD$ (где $AD$ — секущая). 2. **Прямоугольный треугольник:** Теорема Пифагора, синус, косинус, тангенс острых углов. ### Билет 14 1. **Второй признак:** По двум сторонам и углу между ними. **Третий признак:** По трем сторонам. 2. **Углы:** Острые, тупые, прямые, развернутые. Биссектриса делит угол пополам. ### Билет 15 1. **Метрические соотношения:** Высота, проведенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: $h^2 = c_a \cdot c_b$. 2. **Параллельные прямые:** Признаки: накрест лежащие углы равны, соответствующие равны, сумма односторонних $180^\circ$. ### Билет 16 1. **Теорема Пифагора:** $a^2 + b^2 = c^2$. 2. **Равнобедренный треугольник:** Две стороны равны. Углы при основании равны. ### Билет 17 1. **Тригонометрия:** $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Формулы приведения позволяют сводить значения углов к первой четверти. 2. **Серединный перпендикуляр:** Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. ### Билет 18 1. **Многоугольники:** Сумма углов выпуклого $n$-угольника: $180^\circ(n-2)$. 2. **Треугольник:** Медиана (к стороне), биссектриса (делит угол), высота (перпендикуляр). ### Билет 19 1. **Теоремы:** Менелая, Птолемея и Чевы — теоремы о пропорциональных отрезках на сторонах треугольника. ### Билет 20 1. **Углы в окружности:** Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он стягивает. 2. **Площади:** $S_{\triangle} = 0.5 \cdot a \cdot h$, $S_{quad} = 0.5 \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \sin \phi$.