29. sin 6x + cos 6x = 1 - 2sin 3x

Для решения уравнения $\sin 6x + \cos 6x = 1 - 2\sin 3x$ воспользуемся формулами двойного угла. 1. Преобразуем $\sin 6x$ и $\cos 6x$ через аргумент $3x$: $\sin 6x = 2\sin 3x \cos 3x$ $\cos 6x = 1 - 2\sin^2 3x$ (используем формулу косинуса двойного угла через синус) 2. Подставим в уравнение: $2\sin 3x \cos 3x + 1 - 2\sin^2 3x = 1 - 2\sin 3x$ 3. Перенесем все слагаемые в левую часть: $2\sin 3x \cos 3x - 2\sin^2 3x + 2\sin 3x = 0$ 4. Разделим на $2\sin 3x$ (вынесем общий множитель): $2\sin 3x (\cos 3x - \sin 3x + 1) = 0$ Отсюда получаем два случая: **Случай 1:** $\sin 3x = 0$ $3x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$ **Случай 2:** $\cos 3x - \sin 3x + 1 = 0$ $\cos 3x - \sin 3x = -1$ Разделим на $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos(3x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $3x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ Решаем для $x$: а) $3x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$ б) $3x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow 3x = -\pi + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi k}{3}; x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; x = -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.