28. sin x . sin 2x . sin 3x = 1/4 . sin 4x

Для решения уравнения $\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x$ воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму и формулой синуса двойного угла. 1. Применим формулу $2\sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$ к произведению $\sin x \cdot \sin 3x$: $\sin x \cdot \sin 3x = \frac{1}{2}(\cos(3x - x) - \cos(3x + x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x)$ 2. Подставим это в исходное уравнение: $\frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x) \cdot \sin 2x = \frac{1}{4} \sin 4x$ 3. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей: $2(\cos 2x - \cos 4x) \cdot \sin 2x = \sin 4x$ 4. Раскроем скобки и используем формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$: $2\sin 2x \cos 2x - 2\sin 2x \cos 4x = 2\sin 2x \cos 2x$ 5. Заметим, что $2\sin 2x \cos 2x$ есть в обеих частях, они взаимно уничтожаются: $-2\sin 2x \cos 4x = 0$ 6. Разделим на $-2$: $\sin 2x \cos 4x = 0$ Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: а) $\sin 2x = 0$ $2x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ б) $\cos 4x = 0$ $4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$ Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, k, n \in \mathbb{Z}$