Решите систему уравнений: {x^2 + y^2 = 40, xy = -12}.

Давай разберем задачи из этого сборника для подготовки к ОГЭ. Выберем для решения задание №20, так как оно требует алгебраических преобразований. ### Задание №20 Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 40 \\ xy = -12 \end{cases}$$ **Решение:** 1. Выразим $x^2 + y^2$ через $(x+y)^2$ или $(x-y)^2$. Удобнее воспользоваться тем, что $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ и $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$. 2. Подставим значения: $(x+y)^2 = 40 + 2(-12) = 40 - 24 = 16$. Отсюда $x+y = 4$ или $x+y = -4$. $(x-y)^2 = 40 - 2(-12) = 40 + 24 = 64$. Отсюда $x-y = 8$ или $x-y = -8$. 3. Рассмотрим варианты: *Случай 1: $\begin{cases} x+y = 4 \\ x-y = 8 \end{cases}$* Складываем: $2x = 12 \Rightarrow x = 6$. Вычитаем: $2y = -4 \Rightarrow y = -2$. Проверка: $6 \cdot (-2) = -12$ (верно). *Случай 2: $\begin{cases} x+y = 4 \\ x-y = -8 \end{cases}$* Складываем: $2x = -4 \Rightarrow x = -2$. Вычитаем: $2y = 12 \Rightarrow y = 6$. Проверка: $-2 \cdot 6 = -12$ (верно). *Случай 3: $\begin{cases} x+y = -4 \\ x-y = 8 \end{cases}$* Складываем: $2x = 4 \Rightarrow x = 2$. Вычитаем: $2y = -12 \Rightarrow y = -6$. Проверка: $2 \cdot (-6) = -12$ (верно). *Случай 4: $\begin{cases} x+y = -4 \\ x-y = -8 \end{cases}$* Складываем: $2x = -12 \Rightarrow x = -6$. Вычитаем: $2y = 4 \Rightarrow y = 2$. Проверка: $-6 \cdot 2 = -12$ (верно). **Ответ:** $(6; -2), (-2; 6), (2; -6), (-6; 2)$.