2. Вариант. 1. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь основания цилиндра равна 16 pi см². Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2. Высота конуса равна 6см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 30° и площадь боковой поверхности конуса. 3. Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30° к нему, равна 75pi см². Найдите диаметр шара. 4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 3 см, и стягивающей дугу 120°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Question

Вопрос:

2. Вариант. 1. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь основания цилиндра равна 16 pi см². Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2. Высота конуса равна 6см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 30° и площадь боковой поверхности конуса. 3. Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30° к нему, равна 75pi см². Найдите диаметр шара. 4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 3 см, и стягивающей дугу 120°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. 1) Площадь основания цилиндра $S_{осн} = \pi R^2 = 16\pi$, откуда $R^2 = 16$, значит, радиус $R = 4$ см. 2) Осевое сечение — квадрат, его сторона равна диаметру основания $d = 2R = 2 \cdot 4 = 8$ см. Высота цилиндра $H$ равна стороне квадрата, то есть $H = 8$ см. 3) Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi RH = 2\pi \cdot 4 \cdot 8 = 64\pi$ см$^2$. **Ответ: $64\pi$ см$^2$.** 2. 1) Осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник (угол при вершине $90^\circ$), высота $H=6$ см является медианой и биссектрисой. Радиус основания $R = H \cdot \tan(45^\circ) = 6$ см. Образующая $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}$ см. 2) Площадь сечения через две образующие с углом $30^\circ$: $S_{сеч} = \frac{1}{2} L^2 \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{2})^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot 72 = 18$ см$^2$. 3) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi RL = \pi \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\pi\sqrt{2}$ см$^2$. **Ответ: $18$ см$^2$; $36\pi\sqrt{2}$ см$^2$.** 3. 1) Сечение шара плоскостью — круг. Его радиус $r$ связан с радиусом шара $R$ и углом $\alpha = 30^\circ$ между диаметром и плоскостью: $r = R \cos(30^\circ) = R \frac{\sqrt{3}}{2}$ (так как угол между диаметром и плоскостью — это угол между диаметром и его проекцией на плоскость, которая является диаметром сечения). 2) $S_{сеч} = \pi r^2 = \pi (R \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} \pi R^2 = 75\pi$. 3) $R^2 = \frac{75 \cdot 4}{3} = 100$, откуда $R = 10$ см. Диаметр $D = 2R = 20$ см. **Ответ: 20 см.** 4. 1) Хорда $a=3$ см стягивает дугу $120^\circ$, значит, по теореме синусов в основании: $a = 2R \sin(60^\circ) \Rightarrow 3 = 2R \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow R = \sqrt{3}$ см. 2) Расстояние от центра основания до хорды $d = R \cos(60^\circ) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. 3) Угол наклона сечения $45^\circ$, значит, высота конуса $H = d \tan(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. 4) Образующая $L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{3 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ см. 5) $S_{бок} = \pi RL = \pi \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\pi \sqrt{45}}{2} = \frac{3\pi\sqrt{5}}{2} = 1,5\pi\sqrt{5}$ см$^2$. **Ответ: $1,5\pi\sqrt{5}$ см$^2$.**

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения