1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

1. **На клетчатой бумаге изображён прямоугольный треугольник.** Посчитаем клетки катетов: вертикальный — 6 клеток, горизонтальный — 8 клеток. Больший катет равен 8. **Ответ: 8.** 2. **Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°.** Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Второй угол: $90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$. **Ответ: 67.** 3. **В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина AB, AB=20, BC=10. Найдите CM.** В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. $CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$. **Ответ: 10.** 4. **Радиус вписанной в квадрат окружности равен $9\sqrt{2}$. Найдите диагональ.** Сторона квадрата $a$ в два раза больше радиуса вписанной окружности: $a = 2r = 2 \cdot 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$. Диагональ квадрата $d = a\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 18 \cdot 2 = 36$. **Ответ: 36.** **Второй блок заданий:** 1. **На клетчатой бумаге изображена трапеция. Найдите длину средней линии.** Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Верхнее основание — 3 клетки, нижнее — 7 клеток. $m = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$. **Ответ: 5.** 2. **Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу.** По теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$. **Ответ: 29.** 3. **Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус равен 13. Найдите AC, если BC=24.** Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона — диаметр, а треугольник прямоугольный ($AB$ — гипотенуза, $\angle C = 90^\circ$). $AB = 2R = 2 \cdot 13 = 26$. По теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} = 10$. **Ответ: 10.**