1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна $49 \pi \text{ см}^2$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

1. Осевое сечение цилиндра — квадрат. Площадь основания цилиндра равна $49 \pi \text{ см}^2$. Найдем радиус основания цилиндра $R$: $S_{осн} = \pi R^2 \Rightarrow 49 \pi = \pi R^2 \Rightarrow R^2 = 49 \Rightarrow R = 7 \text{ см}$. Так как осевое сечение цилиндра — квадрат, то высота цилиндра $H$ равна диаметру основания $2R$. $H = 2R = 2 \times 7 = 14 \text{ см}$. Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \times 7 \times 14 = 196 \pi \text{ см}^2$. Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 196 \pi + 2 \times 49 \pi = 196 \pi + 98 \pi = 294 \pi \text{ см}^2$. **Ответ: $294 \pi \text{ см}^2$** 2. Высота конуса $h = 24 \text{ см}$. Угол при вершине осевого сечения равен $60^{\circ}$. Рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Поскольку угол при вершине равен $60^{\circ}$, то это равносторонний треугольник. Обозначим радиус основания конуса за $r$, образующую за $l$. В равностороннем треугольнике $l = 2r$. Также $h = l \frac{\sqrt{3}}{2}$. $24 = l \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow l = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48 \sqrt{3}}{3} = 16 \sqrt{3} \text{ см}$. Тогда $r = \frac{l}{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3} \text{ см}$. а) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен $30^{\circ}$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными образующим конуса $l = 16 \sqrt{3} \text{ см}$, и углом между ними $30^{\circ}$. Площадь такого треугольника $S = \frac{1}{2} l^2 \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} (16 \sqrt{3})^2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \times 256 \times 3 = \frac{768}{4} = 192 \text{ см}^2$. **Ответ: $192 \text{ см}^2$** б) Площадь боковой поверхности конуса. $S_{бок} = \pi r l = \pi \times 8 \sqrt{3} \times 16 \sqrt{3} = \pi \times 8 \times 16 \times 3 = 384 \pi \text{ см}^2$. **Ответ: $384 \pi \text{ см}^2$** 3. Задание №3 отсутствует в тексте. 4. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 4y - 8z = 4$ является уравнением сферы. Найдите центр и радиус сферы. Приведем уравнение к каноническому виду уравнения сферы $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$. Сгруппируем члены: $(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) + (z^2 - 8z) = 4$ Дополним до полных квадратов: $(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + (z^2 - 8z + 16) - 16 = 4$ $(x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + (z - 4)^2 - 16 = 4$ $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = 4 + 9 + 4 + 16$ $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 4)^2 = 33$ Это уравнение является уравнением сферы. Центр сферы имеет координаты $(3, 2, 4)$, а радиус сферы равен $\sqrt{33}$. **Ответ: Уравнение является уравнением сферы. Центр $(3, 2, 4)$, радиус $\sqrt{33}$.**