Развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8 см, а угол между диагоналями — 30°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки (прямоугольника). Площадь прямоугольника через диагонали и угол между ними вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} d^2 \sin \alpha$. $S = \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см$^2$. **Ответ: 16 см$^2$.** 2. Пусть $R = 4$ см — радиус основания. Сечение — квадрат со стороной $a$. Основание сечения — хорда, стягивающая дугу $90^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном двумя радиусами и хордой, по теореме Пифагора (или как сторона вписанного квадрата): $a = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. Так как сечение — квадрат, его площадь $S = a^2$. $S = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ см$^2$. **Ответ: 32 см$^2$.** 3. Пусть $r$ — радиус основания, тогда высота $h = r + 12$. Формула площади полной поверхности: $S_{полн} = 2\pi r(r + h)$. $288\pi = 2\pi r(r + r + 12)$ $144 = r(2r + 12)$ $144 = 2r^2 + 12r$ $r^2 + 6r - 72 = 0$ По теореме Виета: $r_1 = 6, r_2 = -12$ (не подходит). Радиус $r = 6$ см, тогда высота $h = 6 + 12 = 18$ см. **Ответ: 6 см; 18 см.**