3 Вариант. 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 25π см². Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 2. Высота конуса равна 9 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 90° и площадь боковой поверхности конуса. 3. Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна 5π см. Найдите диаметр сферы. 4. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

1. Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, $H$ — его высота. Площадь основания $S_{осн} = \pi R^2 = 25\pi \Rightarrow R^2 = 25 \Rightarrow R = 5$ см. Диаметр основания $D = 2R = 10$ см. Осевое сечение — квадрат, значит $H = D = 10$ см. Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 2\pi RH = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi$ см$^2$. **Ответ: $100\pi$ см$^2$**. 2. Пусть $H = 9$ см — высота конуса, $\alpha = 120^\circ$ — угол при вершине осевого сечения. В осевом сечении (равнобедренный треугольник) высота является биссектрисой, угол между высотой и образующей $L$ равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$. $L = \frac{H}{\cos 60^\circ} = \frac{9}{0,5} = 18$ см. Радиус $R = H \cdot \tan 60^\circ = 9\sqrt{3}$ см. Площадь сечения через две образующие с углом $90^\circ$: $S_{сеч} = \frac{1}{2} L^2 \sin 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot 18^2 \cdot 1 = 162$ см$^2$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi RL = \pi \cdot 9\sqrt{3} \cdot 18 = 162\sqrt{3}\pi$ см$^2$. **Ответ: $162$ см$^2$; $162\sqrt{3}\pi$ см$^2$**. 3. Линия пересечения сферы и плоскости — окружность. Её длина $C = 2\pi r = 5\pi \Rightarrow r = 2,5$ см. Пусть $R$ — радиус сферы. Плоскость проходит через конец диаметра под углом $\alpha = 60^\circ$ к нему. В прямоугольном треугольнике, образованном диаметром сферы, хордой (диаметром сечения) и линией, соединяющей концы: $2r = 2R \cos 60^\circ$. $2 \cdot 2,5 = 2R \cdot 0,5 \Rightarrow 5 = R$. Диаметр сферы $D = 2R = 10$ см. **Ответ: 10 см**. 4. Хорда $a = 5$ см стягивает дугу $90^\circ$. В основании равнобедренный треугольник с углом $90^\circ$, тогда $a = R\sqrt{2} \Rightarrow R = \frac{5}{\sqrt{2}} = 2,5\sqrt{2}$ см. Расстояние от центра основания до хорды $d = R \cos 45^\circ = 2,5\sqrt{2} \cdot ?rac{\sqrt{2}}{2} = 2,5$ см. Угол между плоскостью сечения и основанием $\beta = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике (высота конуса, $d$ и апофема сечения): образующая $L$ не является апофемой. Найдем высоту $H = d \cdot \tan 60^\circ = 2,5\sqrt{3}$ см. Образующая $L = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{(2,5\sqrt{3})^2 + (2,5\sqrt{2})^2} = \sqrt{6,25 \cdot 3 + 6,25 \cdot 2} = \sqrt{6,25 \cdot 5} = 2,5\sqrt{5}$ см. $S_{бок} = \pi RL = \pi \cdot 2,5\sqrt{2} \cdot 2,5\sqrt{5} = 6,25\sqrt{10}\pi$ см$^2$. **Ответ: $6,25\sqrt{10}\pi$ см$^2$**.