Вопросы для повторения к главе VIII: Что называется отношением двух отрезков? В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1?

1. Отношением двух отрезков называется отношение их длин. 2. Отрезки $AB$ и $CD$ называются пропорциональными отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$. 3. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. 4. **Теорема:** Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$). **Доказательство:** Пусть $S$ и $S_1$ — площади подобных треугольников $ABC$ и $A_1B_1_C_1$. Т.к. $\angle A = \angle A_1$, то $\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \cdot \frac{AC}{A_1C_1} = k \cdot k = k^2$. 5. **I признак подобия:** Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. **Доказательство:** Пусть в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ $\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1$. Тогда $\angle C = \angle C_1$. Т.к. углы равны, то $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$ и $\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot BC}{A_1B_1 \cdot B_1C_1}$. Из этого следует $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$. Аналогично $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$. Стороны пропорциональны, треугольники подобны. 6. **II признак подобия:** Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 7. **III признак подобия:** Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. 8. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. **Теорема:** Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. **Доказательство:** Пусть $MN$ — средняя линия $\triangle ABC$. $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ по II признаку ($\angle A$ — общий, $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}$). Значит, $\angle AMN = \angle ABC$, откуда $MN \parallel BC$ (соответственные углы), и $\frac{MN}{BC} = \frac{1}{2}$, т. е. $MN = \frac{1}{2}BC$.