Вычислите cos(α - π/4), если cos α = -1/3 и π/2 < α < π

Фотография

Ответ ассистента

Для решения используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$. 1. Найдём $\sin\alpha$ через основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\sin^2\alpha = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 2. Определим знак $\sin\alpha$. По условию $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть), где синус положителен: $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ 3. Подставим значения в формулу, учитывая, что $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $\cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \cos\alpha \cdot \cos\frac{\pi}{4} + \sin\alpha \cdot \sin\frac{\pi}{4}$ $\cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{4}{6} = \frac{4 - \sqrt{2}}{6}$ **Ответ: $\frac{4 - \sqrt{2}}{6}$**

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Вычислите cos(α - π/4), если cos α = -1/3 и π/2 &lt; α &lt; π

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения

Вычислите cos(α - π/4), если cos α = -1/3 и π/2 < α < π