Решите задания из учебника: 189. Упростите выражение. 190. Упростите выражение. 191. Докажите тождество. 194. Найти cos(α + 45°). 196. Найдите наименьшее значение выражения.

### Решение заданий по алгебре (10 класс) **189. Упростите выражение:** 1) Используем формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$: $\cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = -2\sin\frac{\alpha + \frac{\pi}{6} + \alpha - \frac{\pi}{6}}{2}\sin\frac{\alpha + \frac{\pi}{6} - (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = -2\sin\alpha\sin\frac{\pi}{6} = -2 \cdot \sin\alpha \cdot \frac{1}{2} = -\sin\alpha$. 2) Раскроем синус разности: $2(\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = -2\sin\alpha$. 3) Используем формулы суммы и разности синусов и косинусов: $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)} = \frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \sin(90^\circ - (45^\circ + \alpha))}{\sin(45^\circ + \alpha) + \sin(90^\circ - (45^\circ + \alpha))} = \frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \sin(45^\circ - \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \sin(45^\circ - \alpha)} = \frac{2\sin\alpha\cos 45^circ}{2\sin 45^\circ\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$. **190. Упростите выражение:** 1) Формула косинуса суммы: $\cos 6\alpha\cos 4\alpha - \sin 6\alpha\sin 4\alpha = \cos(6\alpha + 4\alpha) = \cos 10\alpha$. 2) Формула синуса суммы: $\sin 14^\circ\cos 31^\circ + \cos 14^\circ\sin 31^\circ = \sin(14^\circ + 31^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 3) Формула косинуса разности: $\cos(24^\circ + \alpha)\cos(24^\circ - \alpha) + \sin(24^\circ + \alpha)\sin(24^\circ - \alpha) = \cos((24^\circ + \alpha) - (24^\circ - \alpha)) = \cos(2\alpha)$. 4) Числитель — синус суммы, знаменатель — косинус суммы: $\frac{\sin(21^\circ + 28^\circ)}{\cos(18^\circ + 31^\circ)} = \frac{\sin 49^\circ}{\cos 49^\circ} = \operatorname{tg} 49^\circ$. 5) Формула тангенса разности: $\frac{\operatorname{tg} 2^\circ - \operatorname{tg} 47^\circ}{1 + \operatorname{tg} 2^\circ\operatorname{tg} 47^\circ} = \operatorname{tg}(2^\circ - 47^\circ) = \operatorname{tg}(-45^\circ) = -1$. 6) Формула тангенса суммы: $\operatorname{tg}((\frac{\pi}{6} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha)) = \operatorname{tg}(\frac{2\pi}{6}) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. **191. Докажите тождество:** 1) $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}{\sin\alpha\cos\beta} = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin\alpha\cos\beta}$. Ч.т.д. **194. Найти $\cos(\alpha + 45^\circ)$:** Дано: $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (II четверть, $\sin\alpha > 0$). $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (-\frac{5}{13})^2} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$. $\cos(\alpha + 45^\circ) = \cos\alpha\cos 45^\circ - \sin\alpha\sin 45^\circ = (-\frac{5}{13})\frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{12}{13})\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{17\sqrt{2}}{26}$. **196. Найдите наименьшее значение:** 1) $\cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha) = \sqrt{2}\cos(\alpha + 45^\circ)$. Наименьшее значение косинуса $-1$, значит ответ: $-\sqrt{2}$. 2) $8\cos\alpha - 15\sin\alpha = \sqrt{8^2 + 15^2}\cos(\alpha + \phi) = 17\cos(\alpha + \phi)$. Наименьшее значение: $-17$.