Упростите выражение: 1) cos 6a cos 4a - sin 6a sin 4a; 2) sin 14 cos 31 + cos 14 sin 31...

Для решения этих примеров воспользуемся формулами сложения тригонометрических функций. 1) Используем формулу косинуса суммы: $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$. $\cos 6\alpha \cos 4\alpha - \sin 6\alpha \sin 4\alpha = \cos(6\alpha + 4\alpha) = \cos 10\alpha$. 2) Используем формулу синуса суммы: $\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$. $\sin 14^\circ \cos 31^\circ + \cos 14^\circ \sin 31^\circ = \sin(14^\circ + 31^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 3) Используем формулу косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. $\cos(24^\circ + \alpha) \cos(24^\circ - \alpha) + \sin(24^\circ + \alpha) \sin(24^\circ - \alpha) = \cos((24^\circ + \alpha) - (24^\circ - \alpha)) = \cos(2\alpha)$. 4) В числителе — синус суммы, в знаменателе — косинус суммы. $\frac{\sin 21^\circ \cos 28^\circ + \cos 21^\circ \sin 28^\circ}{\cos 18^\circ \cos 31^\circ - \sin 18^\circ \sin 31^\circ} = \frac{\sin(21^\circ + 28^\circ)}{\cos(18^\circ + 31^\circ)} = \frac{\sin 49^\circ}{\cos 49^\circ} = \text{tg} 49^\circ$. 5) Используем формулу тангенса разности: $\text{tg}(x - y) = \frac{\text{tg} x - \text{tg} y}{1 + \text{tg} x \text{tg} y}$. $\frac{\text{tg} 2^\circ - \text{tg} 47^\circ}{1 + \text{tg} 2^\circ \text{tg} 47^\circ} = \text{tg}(2^\circ - 47^\circ) = \text{tg}(-45^\circ) = -1$. 6) Используем формулу тангенса суммы: $\text{tg}(x + y) = \frac{\text{tg} x + \text{tg} y}{1 - \text{tg} x \text{tg} y}$. $\frac{\text{tg}(\frac{\pi}{6} + \alpha) + \text{tg}(\frac{\pi}{6} - \alpha)}{1 - \text{tg}(\frac{\pi}{6} + \alpha) \text{tg}(\frac{\pi}{6} - \alpha)} = \text{tg}\left(\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)\right) = \text{tg}\frac{2\pi}{6} = \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. **Ответ:** 1) $\cos 10\alpha$; 2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; 3) $\cos 2\alpha$; 4) $\text{tg} 49^\circ$; 5) -1; 6) $\sqrt{3}$.