Упростите выражение: 1) cos(α + π/6) - cos(α - π/6); 2) 2sin(π/3 - α) - √3cosα - sinα; 3) (sin(45° + α) - cos(45° + α)) / (sin(45° + α) + cos(45° + α))

1) Используем формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$: $\cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = -2\sin\frac{\alpha + \frac{\pi}{6} + \alpha - \frac{\pi}{6}}{2}\sin\frac{\alpha + \frac{\pi}{6} - (\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = -2\sin\alpha \cdot \sin\frac{\pi}{6} = -2\sin\alpha \cdot \frac{1}{2} = -\sin\alpha$ **Ответ: $-\sin\alpha$** 2) Используем формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$: $2\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = 2(\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = -2\sin\alpha$ **Ответ: $-2\sin\alpha$** 3) Применим формулы сложения $\sin(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha)$ и $\cos(45^\circ + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)$: $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha + \cos\alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)} = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha - \cos\alpha + \sin\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha + \cos\alpha - \sin\alpha} = \frac{2\sin\alpha}{2\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$ **Ответ: $\text{tg}\alpha$**