Контрольная работа №3 по теме «Прямая и плоскость в пространстве», 1 вариант. Задания на нахождение расстояния от точки до плоскости, расстояния между параллельными плоскостями и расстояния между скрещивающимися прямыми.

### Решение контрольной работы №3 (1 вариант) **Задание 1** а) Пусть $H$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha$. Тогда $AH$ — перпендикуляр (расстояние от $A$ до $\alpha$), а $HB$ и $HC$ — проекции наклонных $AB$ и $AC$. Пусть $AB = 13x$, $AC = 15x$. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников $AHB$ и $AHC$ выразим квадрат высоты $AH^2$: $AH^2 = AB^2 - HB^2 = (13x)^2 - 5^2 = 169x^2 - 25$ $AH^2 = AC^2 - HC^2 = (15x)^2 - 9^2 = 225x^2 - 81$ Приравняем выражения: $169x^2 - 25 = 225x^2 - 81$ $225x^2 - 169x^2 = 81 - 25$ $56x^2 = 56 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$. Тогда $AH = \sqrt{169 \cdot 1^2 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. **Ответ:** 12 см. б) Проекции наклонных $HB = 5$ см и $HC = 9$ см, а основание наклонных $BC = 10$ см. Если точки $H$, $B$ и $C$ лежат в одной плоскости (что верно по условию), то они образуют треугольник $HBC$ со сторонами 5, 9 и 10. Так как $5+9 > 10$, такой треугольник существует. Проекции лежат в плоскости $ABC$, если точка $H$ (проекция вершины $A$) лежит на прямой $BC$. Но $5+9 \neq 10$, значит $H$ не лежит на $BC$. Однако, по определению, проекции наклонных $AB$ и $AC$ — это отрезки $HB$ и $HC$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Плоскость $ABC$ пересекает $\alpha$ по прямой $BC$. Проекции лежат в плоскости $ABC$ только если сама точка $A$ проецируется на прямую $BC$. **Ответ:** Нет, так как $HB + HC \neq BC$ и $|HB - HC| \neq BC$. **Задание 2** Пусть расстояние между плоскостями $h = 4$ дм. В прямоугольном треугольнике, образованном наклонной $AB$, её проекцией и перпендикуляром (высотой $h$), угол между наклонной и проекцией равен $30^{\circ}$. $AB = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{4}{1/2} = 8$ дм. **Ответ:** 8 дм. **Задание 3** 1. Обоснование: Так как $MB \perp (ABCD)$, а $BC$ — сторона квадрата, то $MB \perp BC$. Также $BC \perp CD$ (стороны квадрата). Прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $(MBC)$, так как она перпендикулярна $BC$ и параллельна $AB$ (а $AB \perp MB$). 2. Расстояние между скрещивающимися прямыми $MB$ и $CD$ — это длина их общего перпендикуляра. Таким перпендикуляром является отрезок $BC$, так как $BC \perp MB$ и $BC \perp CD$. 3. В квадрате $ABCD$ диагональ $AC = a\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата. $8\sqrt{2} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = 8$ см. Значит, $BC = 8$ см. **Ответ:** 8 см.