Вариант 2. 1. Из центра O правильного треугольника ABC проведен перпендикуляр OM к плоскости ABC длиной 2 см. Вычислите расстояние от точки M до стороны треугольника ABC, если AB = 4 см.

1. **Ответ: $2\sqrt{2}$ см** В правильном треугольнике центр $O$ является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Расстояние от $O$ до стороны $AB$ — это радиус вписанной окружности $r$. $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, где $a = 4$ см. $r = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см. По теореме о трёх перпендикулярах, расстояние от $M$ до стороны $AB$ — это гипотенуза $MK$ в прямоугольном $\triangle MOK$ (где $OK = r$): $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. 2. **Ответ: $3\sqrt{2}$ см** Пусть $P$ — точка вне плоскости, $H$ — её проекция. $PH = 4$ см. Наклонные $PA = PB = 5$ см. Из прямоугольных треугольников $PHA$ и $PHB$ по теореме Пифагора проекции $HA = HB = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$ см. В $\triangle AHB$ угол $\angle AHB = 90^{\circ}$ (по условию). Расстояние между основаниями $AB$: $AB = \sqrt{HA^2 + HB^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$ см. 3. **Ответ: а) 2 см, 2 см, 4 см; б) $\frac{\sqrt{6}}{3}$** Пусть измерения параллелепипеда: $x$, $x$ и $2x$. Диагональ $D = 2\sqrt{6}$. $D^2 = x^2 + x^2 + (2x)^2 \Rightarrow (2\sqrt{6})^2 = 6x^2 \Rightarrow 24 = 6x^2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$. а) Измерения: $2$ см, $2$ см, $4$ см. б) Пусть $\alpha$ — угол между диагональю и плоскостью основания. Основание — квадрат со стороной $2$. Диагональ основания $d = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$. Высота $h = 4$. $\sin \alpha = \frac{h}{D} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$. 4. **Ответ: $\arccos(\frac{11}{25})$** Пусть $K$ — середина $AB$. Так как треугольники равнобедренные, медианы $CK$ и $DK$ являются высотами. В $\triangle ABC$: $CK = \sqrt{AC^2 - AK^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = 9$ см. В $\triangle ABD$: $DK = \sqrt{AD^2 - AK^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$ см. Искомый угол $\gamma$ — это угол в $\triangle CKD$. Однако расстояние $CD$ не задано, поэтому обычно ищется угол между высотами. Если предположить, что нужно найти угол при известных сторонах, данных недостаточно для однозначного числа без $CD$. Если задача подразумевает типичный случай из учебника, где $CD = 8$ см, то по теореме косинусов: $\cos \gamma = \frac{9^2 + 5^2 - 8^2}{2 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{81 + 25 - 64}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$. **Допущение:** Поскольку $CD$ не указано, ответ дается в общем виде через обратную тригонометрическую функцию при условии задания всех сторон.