№1 Дан прямоугольный параллелепипед. Его измерения равны 3см, 4см, 12см. Найти диагональ параллелепипеда

### №1 **Ответ: 13 см** **Решение:** Воспользуемся формулой квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда через его измерения $a, b, c$: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ $d^2 = 3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169$ $d = \sqrt{169} = 13$ (см). --- ### №2 **Ответ: $\sqrt{147}$ см (или $7\sqrt{3}$ см)** **Решение:** 1. Пусть $H$ — проекция точки $K$ на плоскость $\alpha$. Тогда $KH = 7$ см — перпендикуляр. 2. Из прямоугольного $\triangle KHL$ (где $\angle KLH = 45^\circ$): $KL = \frac{KH}{\sin 45^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 7\sqrt{2}$ см. 3. Из прямоугольного $\triangle KHM$ (где $\angle KMH = 30^\circ$): $KM = \frac{KH}{\sin 30^\circ} = \frac{7}{\frac{1}{2}} = 14$ см. 4. Рассмотрим $\triangle KLM$. По условию $\angle LKM = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $LM^2 = KL^2 + KM^2 = (7\sqrt{2})^2 + 14^2 = 49 \cdot 2 + 196 = 98 + 196 = 294$ $LM = \sqrt{294} = \sqrt{49 \cdot 6} = 7\sqrt{6}$ см. --- ### №3 **Ответ: а) $2\sqrt{3}$ см; б) $\frac{\sqrt{6}}{3}$** **Решение:** а) Диагональ куба $d = a\sqrt{3}$, где $a$ — ребро. Тогда $a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ (см). б) Угол между диагональю куба и гранью — это угол между диагональю $d$ и диагональю грани $d_{осн} = a\sqrt{2}$. В прямоугольном треугольнике, образованном ребром, диагональю грани и диагональю куба: $\cos \alpha = \frac{d_{осн}}{d} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$. --- ### №4 **Решение:** а) Так как $KA \perp (ABC)$, то $KA$ — перпендикуляр, а $KB$ — наклонная к прямой $BC$. По условию $KB \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах (ТТП), если наклонная перпендикулярна прямой, то и её проекция $AB$ перпендикулярна этой прямой: $AB \perp BC$. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$ и $\triangle ABC$ — прямоугольный. б) Так как $KA \perp (ABC)$, а плоскость $(KAC)$ проходит через прямую $KA$, то по признаку перпендикулярности плоскостей $(KAC) \perp (ABC)$. в) **Ответ: $12\sqrt{3}$ см** 1. В прямоугольном $\triangle ABC$: $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$ (см). 2. В прямоугольном $\triangle KAB$ (так как $KA \perp AB$): $\angle KBA = 30^\circ$. $\text{tg } 30^\circ = \frac{KA}{AB} \Rightarrow KA = AB \cdot \text{tg } 30^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ (см). *Примечание: Если в условии подразумевалось $\angle KBA = 30^\circ$, ответ $4\sqrt{3}$.*