В равнобедренном треугольнике ABC O — точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки O до вершины A данного треугольника, если AB = BC = 10 см, AC = 16 см.

**Ответ: $AO = \frac{20}{3}$ см (или $6\frac{2}{3}$ см)** **Решение:** 1. Проведем медиану $BK$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Значит, $\triangle ABK$ — прямоугольный ($∠K = 90^\circ$). 2. Так как $BK$ — медиана, то $AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. 3. Из прямоугольного треугольника $ABK$ по теореме Пифагора найдем медиану $BK$: $BK^2 = AB^2 - AK^2$ $BK^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$ $BK = \sqrt{36} = 6$ см. 4. По свойству медиан треугольника, точка пересечения медиан ($O$) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BK$: $BO = \frac{2}{3} BK = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см. 5. Теперь найдем расстояние от точки $O$ до вершины $A$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOK$ (так как $BK \perp AC$, то и $OK \perp AC$). В нем $AK = 8$ см, а $OK = BK - BO = 6 - 4 = 2$ см. 6. По теореме Пифагора для $\triangle AOK$: $AO^2 = AK^2 + OK^2$ $AO^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68$ $AO = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$ см. **Допущение:** В школьной программе часто подразумевается стандартное свойство, но расчет выше точен. Однако, если под расстоянием до вершины $A$ имеется в виду длина отрезка медианы $AM$, то по свойству медиан: $AO = \frac{2}{3} AM$. Найдем длину медианы $AM$ из треугольника $AMC$ по формуле медианы: $AM = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 16^2 - 10^2} = \frac{1}{2}\sqrt{100 + 512} = \frac{1}{2}\sqrt{612} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{17} = 3\sqrt{17}$ см. Тогда $AO = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{17} = 2\sqrt{17}$ см. **Важное уточнение:** Если в условии опечатка и треугольник имеет другие стороны, проверьте цифры. Для данных $10, 10, 16$ ответ: $2\sqrt{17} \approx 8,25$ см.