В равнобедренном треугольнике ABC O — точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки O до вершины A данного треугольника, если AB = BC = 10 см, AC = 16 см.

1. Проведём медиану $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, $BM \perp AC$ и $AM = MC = AC : 2 = 16 : 2 = 8$ см. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ ($\angle M = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём медиану $BM$: $BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см. 3. Точка $O$ — точка пересечения медиан. По свойству медиан треугольника, они делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, $BO = \frac{2}{3} BM = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см, а $OM = BM - BO = 6 - 4 = 2$ см. 4. Расстояние от точки $O$ до вершины $A$ — это отрезок $AO$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOM$ ($\angle M = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AO = \sqrt{AM^2 + OM^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$ см. Ответ: $2\sqrt{17}$ см.