Отрезок SA длиной 15 см — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором AC = 10 см, AB = 6 см. а) Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскость прямоугольника имеют равные площади. б) Найдите расстояние от точки S до прямой CD.

Question

Вопрос:

Отрезок SA длиной 15 см — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD, в котором AC = 10 см, AB = 6 см. а) Докажите, что проекции треугольников SBC и SDC на плоскость прямоугольника имеют равные площади. б) Найдите расстояние от точки S до прямой CD.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: а) Доказано; б) 17 см.** **Решение:** а) Проекцией точки $S$ на плоскость прямоугольника $ABCD$ является точка $A$, так как $SA$ — перпендикуляр. Следовательно: 1. Проекцией треугольника $SBC$ на плоскость $ABCD$ является треугольник $ABC$. 2. Проекцией треугольника $SDC$ на плоскость $ABCD$ является треугольник $ADC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, диагональ $AC$ делит его на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABC = \triangle ADC$. Площади равных фигур равны, значит, $S_{ABC} = S_{ADC}$. Что и требовалось доказать. б) Найдём расстояние от точки $S$ до прямой $CD$: 1. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD \perp CD$. 2. По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $AD$ перпендикулярна прямой $CD$, то и наклонная $SD \perp CD$. Значит, искомое расстояние — это длина отрезка $SD$. 3. Сначала найдём сторону $AD$ из прямоугольного $\triangle ABC$ (где $BC=AD$) по теореме Пифагора: $BC^2 = AC^2 - AB^2$ $BC^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ $BC = \sqrt{64} = 8$ см. Значит, $AD = 8$ см. 4. Из прямоугольного $\triangle SAD$ ($\angle SAD = 90^\circ$) найдём гипотенузу $SD$: $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ ассистента

Другие решения