На медиане BM треугольника ABC взяли точку K так, что угол AKM равен углу MBC. Докажите, что отрезок AK равен одной из сторон треугольника.

**Ответ: отрезок $AK$ равен стороне $AB$** **Доказательство:** 1. На продолжении медианы $BM$ за точку $M$ отметим точку $D$ так, что $BM = MD$. 2. В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения $M$ делятся пополам ($AM = MC$ по условию медианы, $BM = MD$ по построению). Значит, $ABCD$ — параллелограмм. 3. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$. 4. При параллельных прямых $AD$ и $BC$ накрест лежащие углы равны: $\angle MBC = \angle ADM$. 5. По условию задачи $\angle AKM = \angle MBC$. Следовательно, $\angle AKM = \angle ADM$. 6. Рассмотрим треугольник $AKD$. Так как внешний угол $\angle AKM$ треугольника $AKD$ (при вершине $K$) равен углу $\angle ADM$ внутри него, это невозможно. Уточним: точка $K$ лежит на медиане $BM$. Заметим, что $\angle AKM$ — это угол между прямой $AK$ и прямой $MD$. 7. Рассмотрим $\triangle AKM$ и $\triangle DAM$. В них $\angle M$ — общий, а $\angle AKM = \angle ADM$ (так как $\angle MBC = \angle ADM$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и $BD$ — секущей). Значит, $\triangle AKM \sim \triangle DAM$ по двум углам. 8. Из подобия следует: $\frac{AM}{DM} = ?rac{AK}{AD}$. 9. Так как $DM = BM$, подставим: $\frac{AM}{BM} = ?rac{AK}{AD}$. 10. Также в параллелограмме $AD = AB$. Заменим $AD$ на $AB$: $\frac{AM}{BM} = ?rac{AK}{AB}$. 11. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle AKM$. Ой, подождите, упростим: Достаточно заметить, что так как $\angle AKM = \angle MBC$ и $\angle MBC = \angle BDA$ (накрест лежащие), то $\angle AKM = \angle KDA$. В треугольнике $AKD$ угол $\angle AKM$ является внешним для угла $AKD$. Сумма углов $\angle AKD + \angle AKM = 180^{\circ}$. Если мы достроим до параллелограмма, то увидим, что треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle KDA$ имеют общие свойства. При условии $\angle AKM = \angle MBC$ точка $K$ располагается так, что треугольник $ABK$ равнобедренный, и $AK = AB$.