На медиане BM треугольника ABC взяли точку K так, что AK = BC. Докажите, что ∠AKM = ∠MBC.

Question

Вопрос:

На медиане BM треугольника ABC взяли точку K так, что AK = BC. Докажите, что ∠AKM = ∠MBC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: $\angle AKM = \angle MBC$ доказано.** **Решение:** 1. На продолжении медианы $BM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный $BM$. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Так как его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам ($AM = MC$ по условию медианы, $BM = MD$ по построению), то $ABCD$ — параллелограмм. 2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны: $AD = BC$ и $AD \parallel BC$. 3. По условию $AK = BC$, следовательно, $AK = AD$. Значит, $\triangle KAD$ — равнобедренный с основанием $KD$. 4. В равнобедренном треугольнике $KAD$ углы при основании равны: $\angle AKD = \angle ADK$. 5. Так как $AD \parallel BC$, то накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны: $\angle ADB = \angle DBC$ (или $\angle ADK = \angle MBC$). 6. Из пунктов 4 и 5 следует: $\angle AKD = \angle MBC$. Так как точка $M$ лежит на отрезке $KD$, то $\angle AKM = \angle AKD$. Таким образом, $\angle AKM = \angle MBC$, что и требовалось доказать.

На медиане BM треугольника ABC взяли точку K так, что AK = BC. Докажите, что ∠AKM = ∠MBC.

Ответ ассистента

Другие решения