Диагональ куба равна 12 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Фотография

Ответ ассистента

**Ответ: а) 4\sqrt{3} см; б) \frac{\sqrt{6}}{3}** Пусть $a$ — ребро куба, а $D = 12$ см — его диагональ. а) Ребро куба: Диагональ куба связана с его ребром формулой: $$D = a\sqrt{3}$$ Отсюда находим $a$: $$a = \frac{D}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ (см)}$$ б) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью грани: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю куба $D$, диагональю грани $d$ и ребром $a$. Угол $\alpha$ между диагональю куба и плоскостью грани — это угол между диагональю куба и её проекцией на эту грань (диагональю грани). Диагональ грани $d = a\sqrt{2}$. $$\cos \alpha = \frac{d}{D} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ Или через ребро $a=4\sqrt{3}$: $$d = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{6}$$ $$\cos \alpha = \frac{4\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Диагональ куба равна 12 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения