Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Фотография

Ответ ассистента

**Ответ:** 1. а) $2\sqrt{3}$ см; б) $\frac{\sqrt{6}}{3}$. **Решение:** 1. Пусть ребро куба равно $a$, а диагональ куба — $d = 6$ см. а) По формуле диагонали куба: $$d = a\sqrt{3}$$ $$6 = a\sqrt{3} \implies a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ (см)}.$$ б) Угол между диагональю куба и плоскостью грани — это угол между диагональю куба и её проекцией на эту грань (диагональю грани). Пусть это угол $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю куба $d$, ребром $a$ и диагональю грани $d_{gr} = a\sqrt{2}$. $$\cos \alpha = \frac{d_{gr}}{d} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$ 2. **Допущение:** В задании №2 отсутствует вопрос, поэтому найдем угол между плоскостью ромба и плоскостью $\alpha$. Пусть $\varphi$ — искомый угол. Расстояние от точки $D$ до плоскости $\alpha$ есть перпендикуляр $DH = \frac{a}{2}$. Проведем из точки $D$ перпендикуляр $DK$ к прямой $AB$. В ромбе со стороной $a$ и углом $60^\circ$ высота $DK = a \cdot \sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. По определению угла между плоскостями: $$\sin \varphi = \frac{DH}{DK} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$ $$\varphi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right).$$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения