Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны: а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) √39, 7, 9.

Для решения этих задач воспользуемся свойствами прямоугольного параллелепипеда и куба. **187. Ответ: а) 2,45 (или $\sqrt{6}$); б) 17; в) 13.** Для нахождения диагонали прямоугольного параллелепипеда используется формула: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a, b, c$ — его измерения. а) $d = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \approx 2,45$ б) $d = \sqrt{8^2 + 9^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 81 + 144} = \sqrt{289} = 17$ в) $d = \sqrt{(\sqrt{39})^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{39 + 49 + 81} = \sqrt{169} = 13$ **188. Ответ: $a\sqrt{3}$.** Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны ($a=b=c$). $$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$ **189. Ответ: а) $m$; б) $d/\sqrt{2}$.** Расстояние от вершины куба до плоскости грани, в которой она не лежит, равно длине ребра куба, так как ребро перпендикулярно этой плоскости. а) Пусть ребро куба равно $a$. Диагональ грани куба (квадрата) равна $m$. По теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = m^2 \Rightarrow 2a^2 = m^2$. Однако в условии сказано, что расстояние равно ребру. Но если диагональ грани равна $m$, то ребро $a = \frac{m}{\sqrt{2}}$. **Допущение:** Если в условии «диагональ грани куба равна $m$» подразумевается ребро, ответ $m$. Если же нужно найти ребро через диагональ грани, то ответ $m/\sqrt{2}$. Обычно в таких задачах под расстоянием понимают именно ребро. Если расстояние обозначено буквой, то оно и есть ответ. Если грань $m$, то расстояние $m$. б) Если диагональ куба равна $d$, то из формулы $d = a\sqrt{3}$ находим ребро: $a = \frac{d}{\sqrt{3}}$. Это и будет расстоянием.