Вариант 32. 1. Площадь поверхности куба равна 1734. Найдите его объем.

Привет! Давай разберем эти задачи по стереометрии шаг за шагом. **Вариант 32** 1. **Ответ: 4913** Пусть $a$ — ребро куба. Площадь поверхности $S = 6a^2 = 1734$. $a^2 = 1734 / 6 = 289 \Rightarrow a = \sqrt{289} = 17$. Объем $V = a^3 = 17^3 = 4913$. 2. **Ответ: 2400** Объем $V = a^3 = 8000 \Rightarrow a = \sqrt[3]{8000} = 20$. Площадь поверхности $S = 6a^2 = 6 \cdot 20^2 = 6 \cdot 400 = 2400$. 3. **Ответ: 1** Пусть ребро куба $a$, тогда объем $V_1 = a^3$. Новое ребро $a+1$, объем $V_2 = (a+1)^3$. $V_2 - V_1 = (a+1)^3 - a^3 = 7$. $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - a^3 = 7 \Rightarrow 3a^2 + 3a - 6 = 0 \Rightarrow a^2 + a - 2 = 0$. Корни уравнения: $1$ и $-2$. Так как ребро не может быть отрицательным, $a = 1$. 4. **Ответ: 9** Объем куба $V = a^3 = 2187\sqrt{3}$. Представим $2187$ как степень тройки: $2187 = 3^7$. Тогда $V = 3^7 \cdot 3^{1/2} = 3^{7,5}$. $a = (3^{7,5})^{1/3} = 3^{2,5} = 3^2 \cdot 3^{0,5} = 9\sqrt{3}$. Диагональ куба $d = a\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27$. **Допущение:** В условии 4 под корнем 3, тогда ребро $a = \sqrt[3]{2187\sqrt{3}}$. $2187 = 729 \cdot 3$, тогда $V = 729 \cdot 3\sqrt{3} = 9^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = (9\sqrt{3})^3$. $a = 9\sqrt{3}$. Диагональ $d = a\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 27$. 5. **Ответ: 1352** Диагональ куба $d = a\sqrt{3} = 26 \Rightarrow a = \frac{26}{\sqrt{3}}$. $S = 6a^2 = 6 \cdot \left(\frac{26}{\sqrt{3}}\right)^2 = 6 \cdot \frac{676}{3} = 2 \cdot 676 = 1352$. 6. **Ответ: 512** $d = a\sqrt{3} = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \Rightarrow a = 8$. $V = a^3 = 8^3 = 512$. 7. **Ответ: в 81 раз** Площадь поверхности $S = 6a^2$. Если ребро увеличить в $k$ раз, площадь увеличится в $k^2$ раз. При $k = 9$: $9^2 = 81$. 8. **Ответ: в 9 раз** Объем $V$ относится как куб коэффициента подобия $k^3$. $V_2 / V_1 = 27 \Rightarrow k^3 = 27 \Rightarrow k = 3$. Площадь $S$ относится как квадрат коэффициента подобия $k^2 = 3^2 = 9$. 9. **Ответ: 90** Рассмотрим куб в системе координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и ребром $2$. Тогда $A(0,0,0)$, $O(2,0,0)$, $K(2,2,0)$, $T(0,2,0)$, $A_1(0,0,2)$, $O_1(2,0,2)$, $K_1(2,2,2)$, $T_1(0,2,2)$. $E$ — середина $AA_1 \Rightarrow E(0,0,1)$. $S$ — середина $A_1O_1 \Rightarrow S(1,0,2)$. $R$ — середина $AO \Rightarrow R(1,0,0)$. Вектор $\vec{SE} = (0-1, 0-0, 1-2) = (-1, 0, -1)$. Вектор $\vec{SR} = (1-1, 0-0, 0-2) = (0, 0, -2)$. Найдем угол $\alpha$ между векторами через скалярное произведение: $\cos \alpha = \frac{\vec{SE} \cdot \vec{SR}}{|\vec{SE}| \cdot |\vec{SR}|} = \frac{(-1)\cdot0 + 0\cdot0 + (-1)\cdot(-2)}{\sqrt{(-1)^2+0^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+(-2)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $\alpha = 45^\circ$. **Допущение:** Угол $ESR$ в треугольнике $ESR$. Найдем стороны: $SE = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$, $SR = 2$, $ER = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$. Треугольник $ESR$ равнобедренный ($SE=ER$), по теореме Пифагора $SE^2 + ER^2 = 2 + 2 = 4 = SR^2$. Значит, угол $SER$ прямой ($90^\circ$), а углы при основании $ESR$ и $ERS$ равны $(180-90)/2 = 45^\circ$. **Ответ: 45**