В треугольнике ABC AB = BC = 10 см, AC = 12 см. Через точку B к плоскости треугольника проведен перпендикуляр BD длиной 15 см. а) Укажите проекцию треугольника DAC на плоскость ABC. б) Найдите расстояние от точки D до прямой AC.

**Ответ: а) треугольник ABC; б) 17 см.** **Решение:** а) Проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$ является точка $B$, так как $BD$ — перпендикуляр к этой плоскости по условию. Проекциями точек $A$ и $C$ являются сами точки $A$ и $C$, так как они лежат в плоскости $ABC$. Следовательно, проекцией треугольника $DAC$ является треугольник $ABC$. б) Расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра $DH$, где $H$ лежит на $AC$. По теореме о трёх перпендикулярах, если $DH \perp AC$, то и его проекция $BH \perp AC$. 1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC=10$ см) высота $BH$ к основанию $AC$ также является медианой. Значит, $AH = HC = 12 : 2 = 6$ см. 2. Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдём $BH$: $$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ (см)}$$ 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBH$ (так как $BD \perp ABC$, то $BD \perp BH$). Найдём гипотенузу $DH$: $$DH = \sqrt{BD^2 + BH^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \text{ (см)}$$