1. К плоскости проведены равные наклонные. Докажите, что их проекции равны. 2. К плоскости прямоугольника ABCD, площадь которого равна 180 см², проведен перпендикуляр KD. Вычислите расстояния от точки К до сторон прямоугольника, если KD=12 см, BC=20 см. 3. В треугольнике ABC угол С равен 90 градусов, СВ=8, АВ=10. КА - перпендикуляр к плоскости треугольника. КА=6. Определить вид треугольника КСВ. Найти расстояние от точки К до прямой СВ.

1. **Доказательство:** Пусть из точки $K$, не лежащей в плоскости $\alpha$, проведены равные наклонные $KA$ и $KB$. Опустим перпендикуляр $KO$ на плоскость $\alpha$. Тогда $OA$ и $OB$ — проекции наклонных на плоскость. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle KOA$ и $\triangle KOB$ (углы $O$ прямые): 1) $KO$ — общий катет; 2) $KA = KB$ по условию (гипотенузы равны). Следовательно, $\triangle KOA = \triangle KOB$ по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует, что $OA = OB$. Что и требовалось доказать. 2. **Ответ: 12 см, 16 см, 20 см, 25 см.** **Решение:** Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $S = 180 \text{ см}^2$, $KD \perp (ABC)$, $KD = 12 \text{ см}$, $BC = 20 \text{ см}$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD = BC = 20 \text{ см}$. Найдём сторону $CD$: $CD = S / AD = 180 / 20 = 9 \text{ см}$. Расстояния от точки $K$ до сторон прямоугольника: 1) До стороны $CD$: это отрезок $KD$, так как $KD \perp CD$. **$KD = 12 \text{ см}$**. 2) До стороны $AD$: это отрезок $KD$, так как $KD \perp AD$. **$KD = 12 \text{ см}$**. *Примечание: так как точка $D$ принадлежит и $AD$, и $CD$, перпендикуляр из $K$ падает в $D$.* 3) До стороны $AB$: по теореме о трёх перпендикулярах это отрезок $KA$. $$KA = \sqrt{KD^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 20^2} = \sqrt{144 + 400} = \sqrt{544} = 4\sqrt{34} \approx 23,32 \text{ см}$$. *Уточнение: Если в условии под расстоянием до сторон $CD$ и $AD$ подразумевались наклонные из-за специфики формулировки, то:* До стороны $BC$: по ТТП это отрезок $KC$. $$KC = \sqrt{KD^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$. 3. **Ответ: $\triangle KCB$ — прямоугольный; расстояние равно 10.** **Решение:** 1) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $AC = \sqrt{AB^2 - CB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$. 2) Так как $KA \perp (ABC)$, то $KA \perp AC$ и $KA \perp AB$. По теореме о трёх перпендикулярах: так как $AC \perp CB$ (проекция), то и наклонная **$KC \perp CB$**. Значит, **$\triangle KCB$ — прямоугольный** ($\angle KCB = 90^\circ$). 3) Расстояние от $K$ до прямой $CB$ — это длина перпендикуляра $KC$. Из $\triangle KAC$ ($\angle A = 90^\circ$): $$KC = \sqrt{KA^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8,49$$.