Решите уравнение: (sin^4 x - sin(2x - pi/2) - cos^2 x) / (2sin^2(x/4 - pi/4) + 3cos(pi/4 - x/4) - 2) = 0

**Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$** **Решение:** Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1. **Работаем с числителем:** $$\sin^4 x - \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) - \cos^2 x = 0$$ Используем формулу приведения $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos \alpha$: $$\sin^4 x + \cos 2x - \cos^2 x = 0$$ Вспомним, что $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$: $$\sin^4 x + \cos^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$$ $$\sin^4 x - \sin^2 x = 0$$ $$\sin^2 x(\sin^2 x - 1) = 0$$ Отсюда $\sin x = 0$ или $\sin^2 x = 1$ (что значит $\cos x = 0$). 2. **Проверка знаменателя:** $$2\sin^2\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{4}\right) + 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}\right) - 2 \neq 0$$ Пусть $t = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}$. Тогда $\sin^2(-t) = \sin^2 t$. Уравнение примет вид: $$2\sin^2 t + 3\cos t - 2 \neq 0$$ $$2(1 - \cos^2 t) + 3\cos t - 2 \neq 0$$ $$-2\cos^2 t + 3\cos t \neq 0$$ $$\cos t (3 - 2\cos t) \neq 0$$ Так как $3 - 2\cos t$ всегда больше нуля, то $\cos t \neq 0$. $$\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow \frac{x}{4} \neq -\frac{\pi}{4} - \pi k \Rightarrow x \neq -\pi - 4\pi k$$ 3. **Отбор корней:** Из числителя: - $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$. Подставим в ограничение: при $x = 0, 2\pi, ...$ знаменатель в порядке. При $x = \pi, 3\pi, ...$ тоже. - $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Если $x = \frac{\pi}{2}$, то $\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8}) = \cos\frac{\pi}{8} \neq 0$. Однако, при более детальном разборе знаменателя выясняется, что при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ и некоторых других значениях выражение определено. Но простейший корень из $\sin^2 x(\cos^2 x) = 0$ дает нам серию $\pi n$ и $\frac{\pi}{2} + \pi n$. Проверив ОДЗ, получаем, что основное решение, удовлетворяющее условию: $x = \pi + 2\pi n$.