Решите уравнение cos 2x + cos² x + sin x cos x = 0

**Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; $x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** Решим уравнение: $$\cos 2x + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$$ 1. Используем формулу двойного аргумента $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$: $$\cos^2 x - \sin^2 x + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$$ $$2\cos^2 x + \sin x \cos x - \sin^2 x = 0$$ 2. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$): $$2 + \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$2 + \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^2 x = 0$$ 3. Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$: $$-t^2 + t + 2 = 0$$ $$t^2 - t - 2 = 0$$ По теореме Виета корни: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$ 4. Обратная замена: а) $\operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $\operatorname{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Допущение:** Если рассматривать исходное уравнение без деления на $\cos^2 x$, то при $\cos x = 0$ уравнение превращается в $-\sin^2 x = 0$, что невозможно одновременно с $\cos x = 0$. Значит, $\cos x = 0$ не является корнем.