Решите уравнение cos 2x + cos² x + sin x cos x = 0

Question

Вопрос:

Решите уравнение cos 2x + cos² x + sin x cos x = 0

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$** **Решение:** 1. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$: $$(\cos^2 x - \sin^2 x) + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$$ $$2\cos^2 x + \sin x \cos x - \sin^2 x = 0$$ 2. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$): $$2 + \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$2 + \operatorname{tg} x - \operatorname{tg}^2 x = 0$$ 3. Сделаем замену $t = \operatorname{tg} x$: $$-t^2 + t + 2 = 0$$ $$t^2 - t - 2 = 0$$ 4. Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета: $t_1 = -1$ $t_2 = 2$ 5. Обратная замена: а) $\operatorname{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $\operatorname{tg} x = 2 \implies x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Решите уравнение cos 2x + cos² x + sin x cos x = 0

Ответ ассистента

Другие решения