Вопрос:

Решите уравнение 4sin^2(x + 7π/8) + √2sin2x = 1

Фотография

Ответ ассистента

**Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{8} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$** Решение: 1. Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$: $$4 \cdot \frac{1 - \cos(2x + \frac{7\pi}{4})}{2} + \sqrt{2}\sin 2x = 1$$ $$2(1 - \cos(2x + \frac{7\pi}{4})) + \sqrt{2}\sin 2x = 1$$ $$2 - 2\cos(2x + \frac{7\pi}{4}) + \sqrt{2}\sin 2x = 1$$ 2. Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$: $$\cos(2x + \frac{7\pi}{4}) = \cos 2x \cdot \cos\frac{7\pi}{4} - \sin 2x \cdot \sin\frac{7\pi}{4}$$ Так как $\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$\cos(2x + \frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x$$ 3. Подставим обратно в уравнение: $$2 - 2(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x) + \sqrt{2}\sin 2x = 1$$ $$2 - \sqrt{2}\cos 2x - \sqrt{2}\sin 2x + \sqrt{2}\sin 2x = 1$$ $$2 - \sqrt{2}\cos 2x = 1$$ 4. Решим полученное простейшее уравнение: $$\sqrt{2}\cos 2x = 1$$ $$\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи