Решите уравнение 2sin²x + 3sinxcosx - 2cos²x = 0

**Ответ: $x = \operatorname{arctg}(0,5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.** **Решение:** Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени вида $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$. 1. Проверим, являются ли корни уравнения $\cos x = 0$ решениями. Если $\cos x = 0$, то уравнение принимает вид $2 \sin^2 x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю (основное тригонометрическое тождество), значит, $\cos x \neq 0$. 2. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$: $\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{3 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$ $2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x - 2 = 0$ 3. Введем замену $t = \operatorname{tg} x$: $2t^2 + 3t - 2 = 0$ 4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ $t_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$ $t_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$ 5. Вернемся к замене: 1) $\operatorname{tg} x = 0,5 \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(0,5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\operatorname{tg} x = -2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi k = -\operatorname{arctg}(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$