На координатной плоскости изобрази четырёхугольник MNPK с вершинами в точках M(-1; -2), N(-3; 4), P(6; 7), K(8; 1). Докажи, что MNPK — параллелограмм.

На координатной плоскости изобрази четырёхугольник $MNPK$ с вершинами в точках $M(-1; -2)$, $N(-3; 4)$, $P(6; 7)$, $K(8; 1)$. Докажи, что $MNPK$ — параллелограмм. :::div .chart-container @chart-1::: Чтобы доказать, что четырёхугольник $MNPK$ является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны. Это значит, что векторы, соответствующие этим сторонам, должны быть равны. 1. Найдём векторы сторон: * Вектор $\vec{MN}$: $N_x - M_x = -3 - (-1) = -2$, $N_y - M_y = 4 - (-2) = 6$. Значит, $\vec{MN} = (-2; 6)$. * Вектор $\vec{PK}$: $K_x - P_x = 8 - 6 = 2$, $K_y - P_y = 1 - 7 = -6$. Значит, $\vec{PK} = (2; -6)$. Видим, что $\vec{MN} = -\vec{PK}$. Это значит, что стороны $MN$ и $PK$ параллельны и равны по длине, но направлены в противоположные стороны. 2. Теперь найдём векторы других противоположных сторон: * Вектор $\vec{NP}$: $P_x - N_x = 6 - (-3) = 9$, $P_y - N_y = 7 - 4 = 3$. Значит, $\vec{NP} = (9; 3)$. * Вектор $\vec{MK}$: $K_x - M_x = 8 - (-1) = 9$, $K_y - M_y = 1 - (-2) = 3$. Значит, $\vec{MK} = (9; 3)$. Видим, что $\vec{NP} = \vec{MK}$. Это значит, что стороны $NP$ и $MK$ параллельны и равны по длине и направлению. Так как обе пары противоположных сторон параллельны и равны, четырёхугольник $MNPK$ является параллелограммом. **Ответ:** Четырёхугольник $MNPK$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны $MN$ и $PK$ параллельны ($\vec{MN} = -\vec{PK}$), а также $NP$ и $MK$ параллельны и равны ($\vec{NP} = \vec{MK}$).