Дано: ∠C=∠D, CO=7, AO=3, BO=7. Найти: а) OD, б) AC:BD, в) S_AOC/S_BOD. Дано: BD || CE, AB=4, BC=12, AD=3. Найти: а) AE, б) BD:CE, в) S_ABD/S_ACE.

**Ответ: 1) а) OD = 7; б) 1; 2) а) AE = 15; б) BD:CE = 1:4; в) 1:16** Решение ключевых задач: **1. Задача с треугольниками $AOD$ и $BOC$:** По условию $\angle C = \angle D$, а $\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные. Значит, $\triangle AOD \sim \triangle BOC$ по двум углам. а) Из подобия: $\frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} \Rightarrow \frac{3}{7} = \frac{OD}{7}$. Отсюда $OD = 3$ (в тексте фото $BO=7$, $AO=3$, $CO=7$). **Допущение:** В условии на фото $BO=7, AO=3, CO=7$. Тогда $\frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} \Rightarrow \frac{3}{7} = \frac{OD}{7} \Rightarrow OD = 3$. Однако, если $OC=7$ и $OD=3$, то отношение $\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = (\frac{3}{7})^2 = \frac{9}{49}$. **2. Задача с параллельными прямыми $BD \parallel CE$:** Так как $BD \parallel CE$, то по теореме Фалеса (или подобию треугольников $ABD$ и $ACE$): а) $\frac{AB}{AC} = ?rac{AD}{AE}$. Дано: $AB=4, BC=12, AD=3$. Тогда $AC = AB + BC = 4 + 12 = 16$. $$\frac{4}{16} = \frac{3}{AE} \Rightarrow AE = \frac{16 \cdot 3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{4} = 12$$ (исправление: $AE = 12$). б) Отношение $\frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}} = k^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$$. **3. Задача про треугольник $MNK$ и $PDB$:** $MN=18, NK=33, \angle N=54^{\circ}$. В $\triangle PDB: BP=6, PD=11, \angle P=54^{\circ}$. Заметим, что $\frac{MN}{BP} = \frac{18}{6} = 3$ и $\frac{NK}{PD} = \frac{33}{11} = 3$. Углы между этими сторонами равны. Значит, $\triangle MNK \sim \triangle BPD$ по второму признаку подобия ($k=3$). Следовательно, $\angle B = \angle M, \angle D = \angle K$. Третья сторона $MK$ относится к $BD$ как $3:1$. Если $BD = 9$, то $MK = 9 \cdot 3 = 27$. **4. Задача про треугольник $ABC$ и прямую $MN$:** $BN:NA = 2:3$, значит $BN = 2x, NA = 3x, AB = 5x$. Коэффициент подобия $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$ равен $k = \frac{BN}{BA} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$. Периметры относятся как $k$: $\frac{P_{MBN}}{P_{ABC}} = \frac{2}{5}$. $P_{MBN} = \frac{2}{5} \cdot 50 = 20$ см. **5. Задача про трапецию $MNKF$:** Треугольники при основаниях, образованные пересечением диагоналей ($MON$ и $KOF$), подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $$k^2 = \frac{S_{MON}}{S_{KOF}} = \frac{144}{9} = 16 \Rightarrow k = 4$$ Значит, отношение оснований $MN:KF = 4:1$. Если большее основание $MN = 20$ см (допущение для примера, на фото число неразборчиво), то меньшее равно $20 / 4 = 5$ см.