Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, если основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания.

1. Найдем диагонали ромба. Ромб имеет сторону $a=6$ см и угол $60^\circ$. У ромба две диагонали: одна лежит напротив угла $60^\circ$, другая — напротив угла $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. В ромбе все стороны равны. Меньшая диагональ ромба $d_1$ (лежит напротив $60^\circ$) образует с двумя сторонами ромба равносторонний треугольник, так как угол между сторонами $60^\circ$. Значит, $d_1 = a = 6$ см. Большая диагональ ромба $d_2$ (лежит напротив $120^\circ$) может быть найдена по теореме косинусов: $$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$$ $$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$$ $$d_2^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$d_2^2 = 36 + 36 + 36 = 108$$ $$d_2 = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$$ см. 2. Найдем высоту параллелепипеда. По условию, меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Меньшая диагональ параллелепипеда образует прямоугольный треугольник с меньшей диагональю основания и высотой параллелепипеда. Большая диагональ параллелепипеда образует прямоугольный треугольник с большей диагональю основания и высотой параллелепипеда. В прямом параллелепипеде боковые рёбра перпендикулярны основанию. Меньшая диагональ параллелепипеда — это та, которая соединяет вершины, находящиеся на концах меньшей диагонали основания. А большая диагональ параллелепипеда — та, что соединяет вершины, находящиеся на концах большей диагонали основания. Из условия: меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Допустим, меньшая диагональ параллелепипеда $D_{мен}$, а большая диагональ основания $d_2$. Значит $D_{мен} = d_2 = 6\sqrt{3}$ см. Меньшая диагональ параллелепипеда, его высота $h$ и меньшая диагональ основания $d_1$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $$D_{мен}^2 = d_1^2 + h^2$$ $$(6\sqrt{3})^2 = 6^2 + h^2$$ $$108 = 36 + h^2$$ $$h^2 = 108 - 36$$ $$h^2 = 72$$ $$h = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$$ см. 3. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания ромба: $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot h = 24 \cdot 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2}$ см$^2$. **Ответ:** $144\sqrt{2}$ см$^2$