Найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, если основание — ромб со стороной 6 см и углом 60°, а меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания.

1. Найдем диагонали ромба. Ромб имеет стороны длиной $a=6$ см и угол $60^\circ$. Второй угол будет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Меньшая диагональ $d_1$ находится по формуле: $$d_1 = a \cdot \sqrt{2 - 2 \cos(60^\circ)} = 6 \cdot \sqrt{2 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = 6 \cdot \sqrt{2 - 1} = 6 \cdot \sqrt{1} = 6 \text{ см}$$ Большая диагональ $d_2$ находится по формуле: $$d_2 = a \cdot \sqrt{2 - 2 \cos(120^\circ)} = 6 \cdot \sqrt{2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 6 \cdot \sqrt{2 + 1} = 6 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$$ 2. Высота параллелепипеда. По условию, меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Пусть $D_{меньшая}$ — меньшая диагональ параллелепипеда, а $H$ — высота параллелепипеда. Тогда $D_{меньшая}^2 = d_1^2 + H^2$. По условию $D_{меньшая} = d_2$. Значит: $$d_2^2 = d_1^2 + H^2$$ $$(6\sqrt{3})^2 = 6^2 + H^2$$ $$36 \cdot 3 = 36 + H^2$$ $$108 = 36 + H^2$$ $$H^2 = 108 - 36$$ $$H^2 = 72$$ $$H = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$$ 3. Площадь боковой поверхности параллелепипеда. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту. Периметр ромба $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см. $$S_{бок} = P \cdot H = 24 \cdot 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2} \text{ см}^2$$ **Ответ:** $144\sqrt{2}$ см$^2$