В прямом параллелепипеде стороны основания, равные 4√2 см и 10 см, образуют угол в 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда 14 см. Найдите его объём.

**Ответ: 280 см³** 1. Найдём площадь основания параллелепипеда (площадь параллелограмма): $$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 4\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \sin(45^\circ) = 40\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 40 \text{ см}^2$$ 2. Чтобы найти высоту параллелепипеда, нужно сначала найти меньшую диагональ основания ($d$). Она лежит против острого угла $45^\circ$. Используем теорему косинусов: $$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(45^\circ)$$ $$d^2 = (4\sqrt{2})^2 + 10^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$d^2 = 32 + 100 - 80 = 52$$ 3. Из прямоугольного треугольника, образованного меньшей диагональю параллелепипеда ($D = 14$), меньшей диагональю основания ($d$) и высотой ($h$), по теореме Пифагора найдём высоту: $$h^2 = D^2 - d^2 = 14^2 - 52 = 196 - 52 = 144$$ $$h = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$ 4. Вычислим объём: $$V = S_{осн} \cdot h = 40 \cdot 12 = 480 \text{ см}^3$$ **Допущение:** В расчётах выше получилось 480. Перепроверим вычисления: $S_{осн} = 40$, $h = 12$, $40 \times 12 = 480$. В кратком ответе в начале была допущена опечатка. **Ответ: 480 см³**