Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, если основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания.

1. Найдем большую диагональ ромба. Ромб имеет стороны одинаковой длины. Диагонали ромба делят его на четыре прямоугольных треугольника. Угол 60° означает, что в одном из треугольников, образованных сторонами и меньшей диагональю, будет угол 60°. В равнобедренном треугольнике, образованном двумя сторонами ромба и одной из диагоналей, при угле 60° это будет равносторонний треугольник, то есть меньшая диагональ будет равна стороне ромба. Большая диагональ находится по формуле: $$d_1 = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$$ $$d_2 = 2a \cos(\frac{\alpha}{2})$$ где $a$ — сторона ромба, $\alpha$ — один из углов ромба. Так как один угол 60°, то другой угол 120°. Меньшая диагональ $d_1 = 2 \cdot 6 \cdot \sin(60/2) = 12 \cdot \sin(30) = 12 \cdot 0.5 = 6$ см. Большая диагональ $d_2 = 2 \cdot 6 \cdot \cos(60/2) = 12 \cdot \cos(30) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. 2. Найдем высоту параллелепипеда. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания, то есть $d_{пар} = d_2 = 6\sqrt{3}$ см. Меньшая диагональ параллелепипеда, меньшая диагональ основания и высота параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник. Обозначим меньшую диагональ основания как $d_{ромб\_меньшая} = 6$ см. Тогда высота параллелепипеда $H$ находится по теореме Пифагора: $$H^2 + d_{ромб\_меньшая}^2 = d_{пар}^2$$ $$H^2 + 6^2 = (6\sqrt{3})^2$$ $$H^2 + 36 = 36 \cdot 3$$ $$H^2 + 36 = 108$$ $$H^2 = 108 - 36$$ $$H^2 = 72$$ $$H = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ см. 3. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания ромба: $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot H = 24 \cdot 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2}$ см$^2$. **Ответ: $144\sqrt{2}$ см$^2$**