Основание прямого параллелепипеда — ромб с диагоналями 6 см и 8 см, а высота параллелепипеда равна 8 см. Определите: а) косинус угла между боковыми гранями параллелепипеда; б) синус угла между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью его боковой грани.

1. **Найдем сторону основания (ромба):** Диагонали ромба $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. По теореме Пифагора сторона ромба $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ см. 2. **а) Косинус угла между боковыми гранями:** В прямом параллелепипеде угол между боковыми гранями равен углу между сторонами ромба в основании. Пусть этот угол равен $\alpha$. Площадь ромба $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$. Также $S = a^2 \sin \alpha$, откуда $\sin \alpha = \frac{24}{5^2} = \frac{24}{25} = 0,96$. По основному тригонометрическому тождеству: $\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,96^2} = 0,28$. 3. **б) Синус угла между меньшей диагональю и плоскостью боковой грани:** Меньшая диагональ основания $d_1 = 6$ см. Меньшая диагональ параллелепипеда $D = \sqrt{d_1^2 + H^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см. Угол $\beta$ между наклонной (диагональю $D$) и плоскостью грани находится через высоту ромба $h$, проведенную к этой грани: $\sin \beta = \frac{h}{D}$. Высота ромба $h = \frac{S}{a} = \frac{24}{5} = 4,8$ см. Тогда $\sin \beta = \frac{4,8}{10} = 0,48$. **Ответ: а) 0,28; б) 0,48.**