Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, если основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 6 см и углом 60°, а меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания.

1. Найдем диагонали ромба. Ромб со стороной $a=6$ см и углом $60^\circ$ имеет две диагонали. Используем теорему косинусов. Меньшая диагональ $d_1$: треугольник, образованный двумя сторонами и углом $60^\circ$, равносторонний, так как углы при основании будут по $(180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ$. Значит, $d_1 = a = 6$ см. Большая диагональ $d_2$: треугольник, образованный двумя сторонами и углом $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. $$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cos(120^\circ)$$ $$d_2^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-0.5)$$ $$d_2^2 = 36 + 36 + 36 = 108$$ $$d_2 = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$ см. 2. Найдем высоту параллелепипеда. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания, то есть $D_1 = d_2 = 6\sqrt{3}$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю основания ($d_1$), высотой параллелепипеда ($h$) и меньшей диагональю параллелепипеда ($D_1$). По теореме Пифагора: $$D_1^2 = d_1^2 + h^2$$ $$(6\sqrt{3})^2 = 6^2 + h^2$$ $$108 = 36 + h^2$$ $$h^2 = 108 - 36 = 72$$ $$h = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ см. 3. Найдем площадь боковой поверхности параллелепипеда. Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту. Периметр ромба $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24$ см. $$S_{бок} = P \cdot h$$ $$S_{бок} = 24 \cdot 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2}$$ см$^2$. **Ответ:** $144\sqrt{2}$ см$^2$