Решите задачи для самостоятельного решения по физике: 1. Температура воздуха в комнате изменилась от 7 до 27 °С. На сколько процентов уменьшилось число молекул в комнате?

1. Температура воздуха в комнате изменилась с $T_1 = 7\ \text{°C}$ до $T_2 = 27\ \text{°C}$. Переведём температуры в Кельвины: $T_1 = 7 + 273 = 280\ \text{К}$ $T_2 = 27 + 273 = 300\ \text{К}$ Давление газа при постоянном объёме пропорционально абсолютной температуре $P \sim T$. Количество молекул $N$ также пропорционально давлению при постоянной температуре (закон Бойля-Мариотта) и обратно пропорционально объёму (если бы объём менялся). Здесь подразумевается, что количество молекул уменьшилось из-за изменения температуры. Можно использовать уравнение состояния идеального газа $PV = nRT$, где $n$ — количество молей, а $n = N/N_A$. По условию задачи температура изменилась, а давление, скорее всего, осталось прежним, то есть $P_1 = P_2 = P$. Если объём комнаты не изменился $V_1 = V_2 = V$. Тогда из уравнения $PV = NkT$ (где $k$ - постоянная Больцмана) $N = \frac{PV}{kT}$ Найдём отношение количества молекул при разных температурах: $\frac{N_2}{N_1} = \frac{PV/(kT_2)}{PV/(kT_1)} = \frac{T_1}{T_2}$ $\frac{N_2}{N_1} = \frac{280\ \text{К}}{300\ \text{К}} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15} \approx 0,933$ Это означает, что количество молекул уменьшилось. Чтобы узнать на сколько процентов, посчитаем: $(1 - \frac{N_2}{N_1}) \cdot 100\% = (1 - \frac{14}{15}) \cdot 100\% = (\frac{1}{15}) \cdot 100\% \approx 6,67\%$ **Ответ: число молекул уменьшилось примерно на 6,67%** 2. Дано: средний квадрат скорости молекул $$\overline{v^2} = 10^6\ (\text{м/с})^2$$ Концентрация молекул $n = 3 \cdot 10^{25}\ \text{м}^{-3}$ Масса одной молекулы $m_0 = 5 \cdot 10^{-26}\ \text{кг}$ Давление газа в сосуде можно найти по формуле: $$P = \frac{1}{3} m_0 n \overline{v^2}$$ Подставим значения: $$P = \frac{1}{3} \cdot (5 \cdot 10^{-26}\ \text{кг}) \cdot (3 \cdot 10^{25}\ \text{м}^{-3}) \cdot (10^6\ (\text{м/с})^2)$$ $$P = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 3 \cdot 10^{-26} \cdot 10^{25} \cdot 10^6\ \text{Па}$$ $$P = 5 \cdot 10^{-26+25+6}\ \text{Па}$$ $$P = 5 \cdot 10^5\ \text{Па}$$ **Ответ: давление газа $P = 5 \cdot 10^5\ \text{Па}$** 3. В колбе объёмом $V = 1,2\ \text{л} = 1,2 \cdot 10^{-3}\ \text{м}^3$ содержится $N = 3 \cdot 10^{22}$ атомов гелия. Найдём среднюю кинетическую энергию каждого атома. Давление газа в колбе $P = 10^5\ \text{Па}$. Формула для давления идеального газа через среднюю кинетическую энергию: $$P = \frac{2}{3} n \overline{E_k}$$ где $n$ — концентрация молекул, $\overline{E_k}$ — средняя кинетическая энергия одной молекулы. Концентрация молекул $n = \frac{N}{V}$. Подставим $n$ в формулу для давления: $$P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \overline{E_k}$$ Выразим среднюю кинетическую энергию: $$\overline{E_k} = \frac{3PV}{2N}$$ Подставим значения: $$\overline{E_k} = \frac{3 \cdot (10^5\ \text{Па}) \cdot (1,2 \cdot 10^{-3}\ \text{м}^3)}{2 \cdot (3 \cdot 10^{22})}$$ $$\overline{E_k} = \frac{3,6 \cdot 10^2}{6 \cdot 10^{22}}\ \text{Дж}$$ $$\overline{E_k} = 0,6 \cdot 10^{2-22}\ \text{Дж}$$ $$\overline{E_k} = 0,6 \cdot 10^{-20}\ \text{Дж}$$ $$\overline{E_k} = 6 \cdot 10^{-21}\ \text{Дж}$$ **Ответ: средняя кинетическая энергия каждого атома $$\overline{E_k} = 6 \cdot 10^{-21}\ \text{Дж}$$** 4. Вычислим средний квадрат скорости движения молекул газа, если его масса $m = 6\ \text{кг}$, объём $V = 4,9\ \text{м}^3$ и давление $P = 200\ \text{кПа} = 200 \cdot 10^3\ \text{Па}$. Используем формулу $P = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \overline{v^2}$. Здесь $m$ — полная масса газа. Выразим средний квадрат скорости $\overline{v^2}$: $$\overline{v^2} = \frac{3PV}{m}$$ Подставим значения: $$\overline{v^2} = \frac{3 \cdot (200 \cdot 10^3\ \text{Па}) \cdot (4,9\ \text{м}^3)}{6\ \text{кг}}$$ $$\overline{v^2} = \frac{3 \cdot 200 \cdot 10^3 \cdot 4,9}{6}\ (\text{м/с})^2$$ $$\overline{v^2} = \frac{600 \cdot 10^3 \cdot 4,9}{6}\ (\text{м/с})^2$$ $$\overline{v^2} = 100 \cdot 10^3 \cdot 4,9\ (\text{м/с})^2$$ $$\overline{v^2} = 490 \cdot 10^3\ (\text{м/с})^2$$ $$\overline{v^2} = 4,9 \cdot 10^5\ (\text{м/с})^2$$ **Ответ: средний квадрат скорости движения молекул газа $$\overline{v^2} = 4,9 \cdot 10^5\ (\text{м/с})^2$$**